【推荐1】在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”．

(1)已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4，6，m﹣1，求m的值．
(2)已知Rt△ABC是“调和三角形”，它的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．
①求a：b：c的值；
②若△ABC周长的数值与面积的数值相等，求a，b，c的值．
(3)在（2）的条件下，动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿路线A→B→C运动，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，设y＝PQ²．
①求y关于t的函数关系式；
②求y的最小值．

【推荐2】在正方形中，点是对角线上的一点，且，将线段绕着点顺时针旋转至，记旋转角为，连接、，并以为斜边在其上方作，连接．
   
(1)特例探究：如图1，当，时，线段与的数量关系为___________；
(2)问题探究：如图2所示，在旋转的过程中，
①（1）中的结论是否依然成立，若成立，请说明理由；
②当，时，若，求的长度；
(3)拓展提升：若正方形改为矩形，且，其它条件不变，在旋转的过程中，当、、三点共线时，如图3所示，若，，直接写出的长度．（用含的式子表示）

【推荐3】如图1，将一块三角板直角顶点放在正方形对角线上，三角板的一直角边交射线于点，另一直角边交射线于点，连结．
       
(1)求证：．
(2)如图2，将“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其它条件不变，若，求的最小值．
(3)在（2）的条件下，记的面积为的面积为，求的最小值．

【推荐1】如图1和图2，在中，，，点在上，且，点从点出发沿折线以每秒2个单位匀速运动，同时点从点出发以每秒1个单位向点A运动，连接，其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒．

(1)当点在上时，______（用含的代数式表示）；
(2)当点在上运动时，
①点与点A的最短距离为______，此时的值为______；
②求出点到直线的距离（用含的代数式表示）；
(3)在整个运动过程中，当与的一边平行时，求出的值；
(4)当点在上运动时，是否存在某一时刻，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，PA＝PB，弦AB与PC交于点M

（1）求证：PB是⊙O的切线
（2）连接BC，若∠APB＝4∠BPC，AP＝6，求BC的长
（3）如图2，若AB＝4BM，求的值
（4）如图3，若AP＝AC，PO与AB交于点D，PC与⊙O交于点N，连接DN，则＝_____