综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在
和
中，
，
，连接
，延长
交
于点D．则与的数量关系：______，
______°；
(2)类比探究：如图2，在和中，，
，连接，延长
交于点D．请猜想与的数量关系及
的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，
，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作
，垂足为点M．则
之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形
中，
，若平面内存在点P满足
，
，则
______．
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在
和中，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：______， ______°；(2)类比探究：如图2，在
和中，，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，
和均为等腰直角三角形，，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．则之间的数量关系：______；(4)实践应用：正方形
中，，若平面内存在点P满足，，则______．
更新时间：2024-01-28 10:29:05
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【推荐1】如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AE平分
，BE平分
．
（1）AE
BE．
（2）若AE=4，BE=6，求四边形ABCD的面积．
，BE平分．（1）AE
BE．（2）若AE=4，BE=6，求四边形ABCD的面积．
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【推荐2】【问题背景】
（1）如图1，在正方形中，E是
上一点，连接
，F为射线
上一点（不与射线端点A重合），且
．求证：
且
；
【类比探究】
（2）如图2，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，若
，
．探究线段与
之间的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，过点E作
交
于点H，延长
交
边于点G，若
是等腰三角形，直接写出
的值．
（1）如图1，在正方形
中，E是上一点，连接，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且．求证：且；【类比探究】
（2）如图2，将（1）中的“正方形
”改为“矩形”，其他条件均不变，若，．探究线段与之间的关系，并说明理由；【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，过点E作
交于点H，延长交边于点G，若是等腰三角形，直接写出的值．
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是对角线
是线段
连接
其他条件不变，填空：线段
，请直接写出
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【推荐1】在
中，
，
，
是直线
上的一点，连接
，过点
作
，交直线于点
．
(1)当点P在线段上时，如图①，求证：
；
(2)当点P在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段
，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
中，，，是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点．(1)当点P在线段
上时，如图①，求证：；(2)当点P在直线
上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
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【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，点
，点
，，，
．
(1)当
时，若直接写出
的坐标；(2)如图
，
是
轴上一点，连接
（与线段相交），分别过点
作的垂线，垂足分别为点
，请证明：
；(3)如图
，在（）的条件下，当
时，取点
关于的对称点
，连接
，判断与的关系并证明．
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，使
，
，过
，求证：
是等边三角形；
，
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【推荐1】△ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE．
(1)如图1，若AB＝4，CE＝2，求BE的长；
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(3)如图3，将△DCE绕点C顺时针旋转30°，连接BD，点F、G为直线BD上两个动点，且FG＝
，连接CF，AG．若CD＝2，AB＝
CD，求CF+FG+GA的最小值．
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【推荐2】思维启迪：
(1)如图1，在等边中，点是边的中点，过点作
交边于点，过点作
于点
，连接
，将线段绕点逆时针旋转
，得到线段
，连接
．
①求证：
是等边三角形；
②求证：
．
思维探索：
(2)在等边中，
，点是边的中点，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
①如图2，当
时，直接写出线段的长；
②当
时，直接写出线段
的长．
(1)如图1，在等边
中，点是边的中点，过点作交边于点，过点作于点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．①求证：
是等边三角形；②求证：
．思维探索：
(2)在等边
中，，点是边的中点，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．①如图2，当
时，直接写出线段的长；②当
时，直接写出线段的长．
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，点
，问
与
，
，求
运动一周，最终返回至点
的和为整数的点
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【推荐1】如图，E点为x轴负半轴上一点，
交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，连接
，
，且
，
．
(1)如图，求点C的坐标和
的度数；
(2)如图，若
平分
交于Q点，小明认为当P点在运动时，线段
的长度始终不发生变化；请证明小明的判断．
(3)如图，连接
，当P点在运动时（不与B、C两点重合）求
的值．
交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，连接，，且，．(1)如图，求点C的坐标和
的度数； (2)如图，若
平分交于Q点，小明认为当P点在运动时，线段的长度始终不发生变化；请证明小明的判断． (3)如图，连接
，当P点在运动时（不与B、C两点重合）求的值．
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【推荐2】如图1，已知点的坐标是
，点
的坐标是
，以
为直径作
，交
轴的正半轴于点，连接
、
，过、、三点作抛物线．
(1)求点的坐标及抛物线的解析式；
(2)如图2，点是延长线上一点，
的平分线
交于点，求点的坐标；并直接写出直线、直线
的解析式；
(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点，使得
，若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
的坐标是，点的坐标是，以为直径作，交轴的正半轴于点，连接、，过、、三点作抛物线．(1)求点
的坐标及抛物线的解析式；(2)如图2，点
是延长线上一点，的平分线交于点，求点的坐标；并直接写出直线、直线的解析式；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点
，使得，若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
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，
，
的长为
，点P是射线
．射线
绕点O逆时针旋转
得到射线
，点Q是射线
，
．
时，在点P运动的过程中，点Q的位置会随之变化，记
，
是其中任意两个位置，探究直线
与
