数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知
中，
，
，
，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段
绕点P顺时针旋转a，得线段
，E、F分别是
、
的中点，设直线
与直线
相交所成的较小角为β，探究
的值和
的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】
小明研究了
时，如图1，求出了
______，
______；
小红研究了
时，如图2，求出了______，______；
【类比探究】
他们又共同研究了
时，如图3，也求出了
和的度数．
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：______（用含m、n的式子表示；______（用含α的式子表示）．
（2）把当时（图3），求的值和的度数的解答过程写出来．
如图，已知
中，，，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段绕点P顺时针旋转a，得线段，E、F分别是、的中点，设直线与直线相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空：
【问题发现】
小明研究了
时，如图1，求出了______，______； 小红研究了
时，如图2，求出了______，______； 【类比探究】
他们又共同研究了
时，如图3，也求出了和的度数．【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：
______（用含m、n的式子表示；______（用含α的式子表示）．（2）把当
时（图3），求的值和的度数的解答过程写出来．
更新时间：2024-02-10 16:34:09
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【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，点B、C的坐标分别为（0，0）、（12，0），点A在第一象限，且△ABC是等边三角形．点D的坐标为（4，0），E是边AB上一动点，连接DE，以DE为边在DE右侧作等边△DEF．
(1)求出A点坐标；
(2)当点F落在边AC上时，△CDF与△BED全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；
(3)连接CF，当△CDF是等腰三角形时，
______．
(1)求出A点坐标；
(2)当点F落在边AC上时，△CDF与△BED全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；
(3)连接CF，当△CDF是等腰三角形时，
______．
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【推荐2】如图1，A，B分别在射线
上，且
为钝角，现以线段
为斜边向的外侧作等腰直角三角形，分别是
，点C，D，E分别是，
的中点．
(1)求证：
；
(2)延长
交于点R．
①如图1，若
，求证：
为等边三角形；
②如图3，若
，求大小和
的值．
上，且为钝角，现以线段为斜边向的外侧作等腰直角三角形，分别是，点C，D，E分别是，的中点． (1)求证：
；(2)延长
交于点R．①如图1，若
，求证：为等边三角形；②如图3，若
，求大小和的值．
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．过点
，连接
，
，使得
．
时，求
交
，求证：
；
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【推荐1】探究性试题
(1)【发现问题】如图1， 为等边三角形，点 D 、E在边上，
，将线段
绕点 C 顺时针旋转
得到线段
，连接
．
① 求
的度数；
② 求证：
；
(2)【解决问题】如图 2， 是一个三角形的余料．小张同学量得
， 他在边上取了 D、E 两点，并量得
，求
这三个三角形的面积之比．
(1)【发现问题】如图1，
为等边三角形，点 D 、E在边上，，将线段绕点 C 顺时针旋转得到线段，连接．① 求
的度数；② 求证：
；(2)【解决问题】如图 2，
是一个三角形的余料．小张同学量得， 他在边上取了 D、E 两点，并量得，求这三个三角形的面积之比．
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【推荐2】【问题情境】如图1，点
为正方形
内一点，
，将
绕点
按顺时针方向旋转
，得到
（点
的对应点为点
），延长
交
于点
，连接
．
（1）试判断四边形
的形状，并说明理由；
（2）如图2，若
，猜想线段与
的数量关系并加以证明；
【解决问题】
（3）如图1若
，
，求．
为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
（1）试判断四边形
的形状，并说明理由；（2）如图2，若
，猜想线段与的数量关系并加以证明；【解决问题】
（3）如图1若
，，求．
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，
，D为平面内的一点．
，求证：
．
，求证：
．
，当D、E分别为
的中点，把
绕A点顺时针旋转，设旋转角为
（
），直线
与
的交点为P，连接
，直接写出
面积的最大值____________．
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【推荐1】如图，点A在以
为直径的⊙
上，
的角平分线与
相交于点E，与⊙相交于点D，延长
至M，连结
，使得
，过点A作的平行线与的延长线交于点N．
（1）求证：与⊙相切；
（2）试给出
之间的数量关系，并予以证明．
为直径的⊙上，的角平分线与相交于点E，与⊙相交于点D，延长至M，连结，使得，过点A作的平行线与的延长线交于点N．（1）求证：
与⊙相切；（2）试给出
之间的数量关系，并予以证明．
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【推荐2】如图，在
的网格中A、B、C三点均为格点，请仅用无刻度的直尺作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．
(1)在图1中，画
的中点D，再作出的高
；
(2)在图2中，在
上画点E，使得
，再在
上画点F，使得
．
的网格中A、B、C三点均为格点，请仅用无刻度的直尺作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．(1)在图1中，画
的中点D，再作出的高；(2)在图2中，在
上画点E，使得，再在上画点F，使得．
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【推荐3】【概念学习】
在平面直角坐标系
中，
的半径为
，若平移
个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，
，则对线段的“最近覆盖距离”为
．
【概念理解】
（1）对点
的“最近覆盖距离”为_ ．
（2）如图②，点
是函数
图像上一点，且对点的“最近覆盖距离”为，则点的坐标为_ ．
【拓展应用】
（3）如图③，若一次函数
的图像上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为，求
的取值范围．
（4）
，且
，将
对线段的“最近覆盖距离”记为，则的取值范围是 ．
在平面直角坐标系
中，的半径为，若平移个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，，则对线段的“最近覆盖距离”为．【概念理解】
（1）
对点的“最近覆盖距离”为_ ．（2）如图②，点
是函数图像上一点，且对点的“最近覆盖距离”为，则点的坐标为_ ．【拓展应用】
（3）如图③，若一次函数
的图像上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为，求的取值范围．（4）
，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为，则的取值范围是 ．
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【推荐1】如图，在
中，
，点P在边上，过点P作
于点Q，O为边的中点，连接
并延长到点M，使
，连接
．
(1)填空：如图1，当
时，
＝__________．
(2)如图2，当
时，将
绕点A逆时针方向旋转，连接
，线段
之间的数量关系如何？请就图2所示情况证明．
(3)在（2）的条件下，在中，若
，将由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角
，当点Q到直线的距离为4时，请直接写出线段的值__________．
中，，点P在边上，过点P作于点Q，O为边的中点，连接并延长到点M，使，连接． (1)填空：如图1，当
时，＝__________．(2)如图2，当
时，将绕点A逆时针方向旋转，连接，线段之间的数量关系如何？请就图2所示情况证明．(3)在（2）的条件下，在
中，若，将由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角，当点Q到直线的距离为4时，请直接写出线段的值__________．
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【推荐2】如图1，是的直径，
是的弦，
的平分线
交于点B，交于M，连接、．
(1)证明：
．
(2)填空：（直接将结果写在相应的横线上）
，
，
．
(3)如图2，过点D作
，垂足为N，若
，求
的值．
(4)记
，
，试用含m，n的式子表示
．
是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接、． (1)证明：
．(2)填空：（直接将结果写在相应的横线上）
， ， ．(3)如图2，过点D作
，垂足为N，若，求 的值．(4)记
，，试用含m，n的式子表示．
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