我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线
是线段
的垂直平分线，P是上任一点，连接
．将线段沿直线对折，我们发现
与
完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，
，垂足为点C，
，点P是直线上任意一点．
求证：
分析图中有两个直角三角形
和
，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
(1)以上是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，请结合以上分析、利用图1写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
(2)定理应用：如图2，在
中
，的垂直平分线交与点N，交
于点M，连接
，若
，
的周长是
．
①求
的长
②点P是直线上一动点，在运动的过程中，
的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时的周长；若不存在，说明理由．
是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，
，垂足为点C，，点P是直线上任意一点． 求证：
分析图中有两个直角三角形
和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．(1)以上是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，请结合以上分析、利用图1写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
(2)定理应用：如图2，在
中，的垂直平分线交与点N，交于点M，连接，若，的周长是．①求
的长 ②点P是直线
上一动点，在运动的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时的周长；若不存在，说明理由．
更新时间：2024-02-15 15:33:11
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【推荐1】问题呈现：证明命题：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在中，
．
求证：
．
证明：如图，延长至点D．使
，连接
．
(1)请根据提示，结合图形，写出完整的证明过程．
(2)结论运用：
①如图，小明在汽车上看见前面山顶上有一个气象站，此时测得水平线与视线的夹角为
，当汽车又笔直地向山的方向行驶4千米后，小明再看气象站，测得水平线与视线的夹角为
．那么这个气象站离地面的高度为______千米．
②如图，为等边三角形，
相交于点P，
于点Q，
．求的长．
已知：如图，在
中，．求证：
． 证明：如图，延长
至点D．使，连接．(1)请根据提示，结合图形，写出完整的证明过程．
(2)结论运用：
①如图，小明在汽车上看见前面山顶上有一个气象站，此时测得水平线与视线的夹角为
，当汽车又笔直地向山的方向行驶4千米后，小明再看气象站，测得水平线与视线的夹角为．那么这个气象站离地面的高度为______千米． ②如图，
为等边三角形，相交于点P，于点Q，．求的长．
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适中
(0.65)
名校
【推荐2】如图，
中，
，
，
为
上一动点，
为
延长线上的动点，始终保持
，连接
和
，再将绕
点逆时针旋转
到
，再连接
．
(1)求证：
；
(2)判断四边形
的形状并证明；
(3)如图2，连接
，
为中点，
，当从
运动到点的过程中，的中点也随之运动，请直接写出点所经过的路径长．
中，，，为上一动点，为延长线上的动点，始终保持，连接和，再将绕点逆时针旋转到，再连接．(1)求证：
；(2)判断四边形
的形状并证明；(3)如图2，连接
，为中点，，当从运动到点的过程中，的中点也随之运动，请直接写出点所经过的路径长．
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与
相交于点
，
，
，点
从点
方向以
的速度运动，点
从点
方向以
的速度运动，
．
．
的长（用含t的式子表示）．
，当线段
的值．
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【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB．
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)记直线l与AB，CD的交点分别是点E，F，当AC＝
时，求EF的长．
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)记直线l与AB，CD的交点分别是点E，F，当AC＝
时，求EF的长．
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【推荐2】在中，AD是BC边上的高，CD＝AB＋BD，试说明：∠B＝2∠C．
中，AD是BC边上的高，CD＝AB＋BD，试说明：∠B＝2∠C．
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，则
的度数是___________度；
．
，
周长的最小值．
