【推荐1】如图，在正方形中，点E在对角线上，，过点E的直线分别交，于点M，N．

（1）当时，的长为________，________；
（2）已知．
①若，求此时的长；
②当E，F为的三等分点，点P在正方形的边上时，是否存在满足的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．

【推荐2】如图①，在▱ABCD中，AD=BD=2，BD⊥AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．
（1）求证：BF=AE；
（2）若BF所在的直线交AC于点M，求OM的长度；
（3）如图②，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF的面积．
   

【推荐3】如图，在正方形中，点、分别在边、上，与相交于点，且．
（1）如图1，求证：．

图1
（2）如图2，与相交于点，交于点，交于点，连接，试探究直线与的位置关系，并说明理由．

图2
（3）在（1）（2）的基础上，若平分，且的面积为，求正方形的面积．

【推荐1】问题探究
（1）如图①，在正方形ABCD内，请画出使∠BPC=90°的所有点P；
（2）如图②，已知矩形ABCD，AB=9，BC=10，在矩形ABCD内(含边)画出使∠BPC=60°的所有点P，并求出△APD面积的最大值；

（3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活，某农业观光园的平面示意图如图3所示的四边形ABCD，其中∠A=120°，∠B=∠C=90°，AB=km，BC=6km，观光园的设计者想在园中找一点P，使得点P与点A、B、C、D所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在△BPC的区域内∠BPC=120°，且△APD的区域面积最小，试问在四边形ABCD内是否存在这样的点P，使得∠BPC=120°，且△APD面积最小？若存在，请你在图中画出点P点的位置，并求出△APD的最小面积.若不存在，说明理由.

【推荐2】如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF，当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径．

【推荐1】在中，，，延长交于点F，，交于点H．点M是边上的点．

（1）如图1，若点M与点G重合，，，求的长；
（2）如图2，若是的角平分线，连接，，求证：；
（3）如图3，若点M为的中点，作点B关于的对称点N，连接、、，请直接写出、、之间的角度关系．

【推荐2】如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点．

(1)若为等腰直角三角形．
①求直线的函数解析式；
②在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点、，使的周长最小，并求出周长的最小值．
(2)如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式．

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0），B（b，c），且（a﹣8）²＋|b﹣3|＋＝0，连接AB，AB²＝（a﹣b）²＋c²

(1)求点A和点B的坐标和线段AB的长度；
(2)如图2，点P是射线AO上一动点，连接BP，将△ABP沿着直线BP翻折至△QBP，当PQAB时，求点P和点Q的坐标；
(3)在（2）的情况下，如图3，点F是线段AP延长线上一动点，连接BF，将△ABF沿着直线BF翻折至△MBF，连接MQ．当MFBP时，试探究∠QMF，∠QBF与∠MQB之间的数量关系，并说明理由．

【推荐2】如图，抛物线y＝ax²+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．
(3)以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．

【推荐3】抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．点为抛物线上的一个动点．过点作轴于点，交直线于点．
（1）求、的值；
（2）设点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，直接写出点的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍？若存在，求出点所有的坐标；若不存在，请说明理由．