【推荐3】如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，D在BC边上、△BDE为等边三角形，连接AE，F为AE中点，连CF，DF．

(1)请直接写出CF、DF的数量关系，不必说明理由；
(2)将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转（），其它条件不变，如图2，试回答（1）中的结论是否成立？并说明理由；
(3)若将图（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转90°，其它条件不变，请完成图3，并直接给出结论，不必说明理由．

【推荐1】点P在四边形的对角线上，直角三角板的直角边，分别交，边于点M，N．

【特例探究】（1）如图1，若O是边长为2的正方形对角线，的交点，当点Р在点O处时，无论三角板绕点O怎样转动，我们发现，三角板与正方形重叠部分的面积总等于______；
【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，改变点Р的位置（P在对角线AC上），若，则有．
下面是该结论的证明过程：
证明：过点P作于点G，作于点H，
……
请按以上证明思路完成剩余的证明过程；
【迁移探究】（3）如图3，在（2）的条件下，将“正方形”改为“矩形”，且，，其他条件不变．若，且过点B，直接写出的长．

【推荐2】【探索发现】
“旋转”是一种重要的图形变换，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决几何问题的常用方法．如图1，在正方形中，点在上，点在上，．
某同学进行如下探索：
第一步：将绕点顺时针旋转90°，得到，且、、三点共线；
第二步：证明≌；
第三步：得到和的大小关系，以及、、之间的数量关系．
请完成第二步的证明，并写出第三步的结论．
【问题解决】
如图2，在正方形中，点在上，且不与、重合，将绕点顺时针旋转，旋转角度小于90°，得到，当、、三点共线时，这三点所在直线与交于点，要求使用无刻度的直尺与圆规找到点位置，某同学做法如下：连接，与交于点，以为圆心，为半径画圆弧，与相交于一点，该点即为所求的点．
请证明该同学的做法．（前面【探索发现】中的结论可直接使用，无需再次证明）
【拓展运用】
如图3，在边长为2的正方形中，点在上，与交于点，过点作的垂线，交于点，交于点，设（），，直接写出关于的函数表达式：_______________．
   

【推荐2】如图1，在中，，边，点分别在线段上，将沿直线翻折，点C的对应点是点；

（1）当分别是边的中点时，求出的长度；
（2）若，点到线段的最短距离是________；
（3）如图2，当点在落在边上时，
①点运动的路程长度是______；
②当时，求出的长度．

【推荐3】综合与实践
问题情境：
数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点，分别为点，，线段与交于点（说明：折叠后纸带的边始终成立）

   

操作探究：
(1)如图，若，则的度数为______°．
(2)如图，改变折痕的位置，其余条件不变，小彬发现图中始终成立，请说明理由；
(3)改变折痕的位置，使点恰好落在线段上，然后继续沿折痕折叠纸带，点，分别在线段和上．
①如图，点的对应点与点重合，点的对应点为点若，直接写出的度数．
②如图，点，的对应点分别为点，，点，均在上方，若，，当时，直接写出与之间的数量关系．