【推荐3】在平面直角坐标系中，为原点，直角三角形的顶点，，等边三角形的一边在轴的负半轴上，点在第二象限．将等边三角形沿水平方向向右平移，顶点，，的对应点分别为，，．

(1)如图①，当边在轴的正半轴上，点与原点重合时，点恰好落在边上．填空：等边三角形的边长等于______，点的坐标为______．
(2)如图②，当在边上，且，分别与相交于点，时，与图中的哪条线段相等？与图中的哪条线段相等？并证明你的结论：
(3)设，等边三角形与直角三角形重叠部分的面积为．当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．

【推荐1】已知：正方形边长为2．点为边上的动点，以直线为对称轴翻折得（如图）．连接，取中点，连接．

   

(1)当翻折后，若点刚好落在对角线上，求此时的长度．
(2)当点P由A运动到D时，求点M的运动轨迹的长度．
(3)如果将“点P为线段上的动点”改为“点为射线上的动点”，其它条件不变，那么当等腰三角形时，求此时的长度．

【推荐1】如图，在中，是上一点，点在边上，连接，过点作交于点．
   
(1)如图1，当为的中点时，求证：．
(2)如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，点在边上，连接交于点，交于点，且．
①猜想和的数量关系，并说明理由．
②求证：．
(3)如图3，若为点关于的对称点（点不重合），连接，，当为直角三角形时，直接写出的值．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，分别过点作轴、轴的垂线，两垂线交于点，函数的图像与线段交于点交于点．
   
(1)求线段的长度；
(2)试判断点是否在函数的图像上，并说明理由；
(3)已知，点在轴上，点在函数的图像上，当四边形为平行四边形时，求点的坐标．

【推荐3】如图1，一次函数的图像与y轴、x轴分别交于A、B两点，P是线段上一点，过A、O、P三点的圆与的图像交于点D．点C的坐标为，连接交圆于点E．
   
(1)求的度数；
(2)如图2，连接，，，当时，
①判断的形状，并说明理由；
②求点D的坐标．
(3)如图1，设点P的横坐标为m，的值是否会随m的变化而变化？若变化，请用含m的式子表示；若不变，请求出这个值．