【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点在轴上），与轴交于点，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若为直线下方抛物线上的一个动点，过点作交于点，交轴于点．
①求线段的最大值；
②是否存在点，使得四边形为等腰梯形？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线(、为常数)的对称轴为直线，且经过点．

(1)求此抛物线对应的二次函数解析式；
(2)当时，二次函数的最大值是______，最小值是______；
(3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值；
(4)点在抛物线上，横坐标为，过点作直线平行于轴，交抛物线于另一点．抛物线上另有两点、，横坐标分别为和，、两点之间的部分不包括、两点记作图象．若图象上恰好有三个点到直线的距离为，请直接写出的取值范围．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）与x轴正半轴的交点坐标是 ，对称轴为直线．

   

(1)求抛物线的解析式．
(2)点A，B均在这个抛物线上，点A的横坐标为a，点B的横坐标为，将A，B两点之间的部分（包括A，B两点）记为图象G，设图象G的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h．
①当A，B两点的纵坐标相等时，求h的值；
②当时，直接写出a的取值范围．

【推荐1】如图，已知直线与抛物线： 相交于和点两点.

⑴求抛物线的函数表达式；
⑵若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时，求此时四边形的面积及点的坐标；
⑶在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】抛物线与x轴的交点为，B，与y轴交于点C．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)P为抛物线第一象限上的一点，若，求点P的坐标；
(3)M为抛物线在点B右侧上的一点，M与N两点关于抛物线的对称轴对称，，交y轴于点E、D，求的值．

【推荐1】如图1，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的斜边OB在x轴上，其中∠ABO=30°，OB=4．

（1）直接写出，Rt_△AOB的内心和P的坐标；
（2）如图2，若将Rt_△AOB绕其直角顶点A顺时针旋转α度（0°<α<90°），得到Rt_△ACD，直角边AD与x轴相交于点N，直角边AC与y轴相交于点M，连结MN．设△MON的面积为S_△MON，△AOB的面积为S_△AOB，以点M为圆心，MO为半径作⊙M，
①当直线AD与⊙M相切时，试探求S_△MON与S_△AOB之间的关系．
②当S_△MON=S_△AOB时，试判断直线AD与⊙M的位置关系，并说明理由．

【推荐2】如图，AB是ABC的外接圆O的直径，点D在半圆上，DC与AB交于点E，过点C作CF⊥DC交DB的延长线于点F，交圆O于点G．
（1）求证：ABC∽DCF；
（2）当∠1＝∠2，DF＝10，AE：EC＝1：2时，求圆O的半径．
（3）在（2）的条件下，连接DG交BC于点M，则     （直接写出答案）．

【推荐3】爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．

【特例探究】
（1）如图1，当∠PBA＝45°，c＝4时，a＝　　，b＝　　；
如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，a＝　　，b＝　　；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【推荐1】在中，为边上一动点（点与点不重合），联结．过点作交边于点．
          
(1)如图，当时，求的长；
(2)设，求关于的函数解析式并写出函数定义域；
(3)把沿直线翻折得，联结，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，直接写出的长．

【推荐2】将一个直角三角形片，放置在平面直角坐标系中，点，点，点.过边的动点（点不与点重合）作于点，沿着折叠该纸片，得顶点的对应点.设，折叠后的与四边形重叠部分的面积为.

（1）填空：          度；直接写出直线的函数解析式          .如图①，当点与顶点重合时，直接写出点的坐标          .
（2）点是直线上的一点，若，求点的坐标.
（3）当落在第二象限，与相交于点，求出关于的函数关系式；并写出的取值范围.

【推荐3】若凸四边形的两条对角线所夹锐角为，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．

(1)①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有       ；
②若矩形是“美丽四边形”，且，则          ；
(2)如图1，“美丽四边形”内接于⊙O，与相交于点P，且对角线为直径，，求另一条对角线的长；
(3)如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”的四个顶点，B在第三象限，D在第一象限，与交于点O，且四边形的面积为，若二次函数（a、b、c为常数，且）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．