【推荐1】已知等边中，点是边，的垂直平分线的交点，，分别在直线，上且，

（1）如图所示，点，分别在边，上，求证：；
（2）如图所示，点在边上，点在的延长线上，求的值.

【推荐2】已知两个全等的等腰直角△ABC、△DEF，其中，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在直线）于M、N．

(1)如图1，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证：；
(2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由；
(3)如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由．

【推荐1】如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC=4，BA＝8，点D、E分别为BC、BA的中点，作直线AE、CD，设它们的交点为点P．

(1)猜想：在旋转的过程中，线段AE、CD有怎样的数量和位置关系？答：             、                    ．
(2)利用图2，证明你在（1）中的猜想．
(3)当点D恰好落在直线AE上时，求线段PC的长．
(4)在旋转过程中，直接写出△PBC面积的最大值．

【推荐2】如图1，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．
(1)当t＝ 时，则OP＝      ，S_△ABP＝      ；
(2)当△ABP是直角三角形时，求t的值；
(3)如图2，当AP＝AB时，过点A作AQBP，并使得∠QOP＝∠B，求证：AQ·BP＝3．

【推荐3】如图，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，连接，．
（1）如图1，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．

（2）如图2，若点哈好在上，且为的中点，，求的面积．

（3）如图3，设与的交点为，若，，，求的长．

【推荐1】（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则：
①∠BEC＝＿°；②线段AD、BE之间的数量关系是＿．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．
（3）探究发现：
如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．

【推荐2】已知△ABC是等边三角形，四边形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如图①，当AD与边BC相交，点D与点F在直线AC的两侧时，BD与CF的数量关系为     ．
（2）将图①中的菱形ADEF绕点A在平面内逆时针旋转α（0°＜α＜180°）．
Ⅰ．判断（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②证明你的结论．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，当△ACE为直角三角形时，直接写出CE的长度．

【推荐3】在等边中，线段为边上的中线，动点在直线（点与点重合除外），以为一边且在的下方作等边，连接．

(1)若，则______度， ______度；
(2)判断与是否相等，请说明理由；
(3)如图2，若，点两点在直线上且，求的长

【推荐1】【问题背景】
如图，正方形的边长为8，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，连接．
【初步探究】
（1）求证：；
（2）若点 P在边上运动，且，求与的相似比；
【拓展提升】
（3）当点P在射线上运动时，设，是否存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

   

【推荐2】如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第ts时，△EFG的面积为Scm²．

（1）当＝1s时，S的值是多少？
（2） 当时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，用含t的代数式表示S；当时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，用含t的代数式表示S.
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似？请说明理由

【推荐3】（1）【问题发现】如图①，在中，若将绕点O逆时针旋转得到，连接；求 ；
（2）【问题探究】如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边三角形，P为内一点，将线段绕点C逆时针旋转，点P的对应点为点Q．
①求证：；
②求的最小值；
（3）【实际应用】如图③，在矩形中，，是矩形内一动点为内任意一点，是否存在点P和点Q，使得有最小值？若存在求其值；若不存在，请说明理由．