如图，在
中，
，点
从点
出发，沿折线
以
速度向点
运动，同时点
从点出发，沿
方向以
的速度向点运动，点到达点时，点
同时停止运动，当点不与
重合时，作点关于直线
的对称点
，连接
交于点
，连接
．设运动时间为
．
备用图
(1)当
为何值时，
？
(2)设
的面积为
，求
与的函数关系式并写出的取值范围；
(3)当为何值时，为直角三角形？
中，，点从点出发，沿折线以速度向点运动，同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点到达点时，点同时停止运动，当点不与重合时，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接．设运动时间为．备用图
(1)当
为何值时，？(2)设
的面积为，求与的函数关系式并写出的取值范围；(3)当
为何值时，为直角三角形？
更新时间：2024-02-20 22:09:15
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【推荐1】如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，分别交AB、BC于点D、E．MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N．连接AE、AN．
(1)求∠EAN的度数；
(2)若△AEN的周长为15，则BC的长为 ．
(1)求∠EAN的度数；
(2)若△AEN的周长为15，则BC的长为 ．
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(0.4)
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【推荐2】如图，点P是菱形
的对角线
上一点，连接
并延长，交
于E，交
的延长线于F．
(1)求证：
；
(2)若
，
，且
，求
的长．
的对角线上一点，连接并延长，交于E，交的延长线于F．(1)求证：
；(2)若
，，且，求的长．
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【推荐3】《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想阀门发现新问题、结论的重要方法（教材呈现），图中是华师版九年级上册数学教材第103﹣104页的部分内容．
(1)定理证明：请根据教材图24﹣2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明
(2)定理应用：如图②，在
ABC中，AD⊥BC，垂足为点D（点D在BC上），CE是AB边的中线，DG垂直平分CE，求证：∠B＝2∠BCE．
(3)拓展提高：如图③，在ABC中，∠B＝30，∠ADC＝45，AD恰好是中线，求∠C的度数．
(1)定理证明：请根据教材图24﹣2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明
(2)定理应用：如图②，在
ABC中，AD⊥BC，垂足为点D（点D在BC上），CE是AB边的中线，DG垂直平分CE，求证：∠B＝2∠BCE．(3)拓展提高：如图③，在
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解题方法
【推荐1】如图，在
中，
，点D为斜边
上一点，连接
，将绕点C顺时针旋转
，得到
，连接
交于点F．
(1)如图1，若
，
，D为的中点，求
的长度．
(2)如图2，
于点D，G为边上一点，且
，求证：
．
(3)如图3，若，，当
为等腰三角形时，直接写出面积的最大值．
中，，点D为斜边上一点，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，连接交于点F．(1)如图1，若
，，D为的中点，求的长度．(2)如图2，
于点D，G为边上一点，且，求证：．(3)如图3，若
，，当为等腰三角形时，直接写出面积的最大值．
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【推荐2】在等腰中，
．动点M、N分别在两腰
上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且
．将
沿所在的直线折叠，使点A的对应点为P．
(1)当为何值时，点P恰好落在
上？
(2)当
与等腰重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
(3)当
时，求x的值．
中，．动点M、N分别在两腰上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且．将沿所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当
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【推荐3】【问题初探】
在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图
，正方形中，点是线段上一点（不与点
、重合），连接
．将绕点顺时针旋转
得到
，连接，求
的度数．
①小聪同学给出如下解题思路：过点
作
交的延长线于点
，得到
与
的数量关系，进而求出的度数．
②小慧同学给出另一种解题思路：在上截取
，使得
，连接
，得到
与
之间的数量关系，进而求出的度数．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
王老师发现之前两名同学都根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想；为了帮助学生更好地发现数学直觉，感悟转化思想，培养几何直观，王老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图
，菱形中，
，点是线段上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转
得到，连接
，探究与的数量关系．
【学以致用】
如图
，在中，，
，
，为上一点，满足
.为延长线上一点，
，
与延长线交于点，求
的长．
在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数．①小聪同学给出如下解题思路：过点
作交的延长线于点，得到与的数量关系，进而求出的度数．②小慧同学给出另一种解题思路：在
上截取，使得，连接，得到与之间的数量关系，进而求出的度数．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
王老师发现之前两名同学都根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想；为了帮助学生更好地发现数学直觉，感悟转化思想，培养几何直观，王老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图
，菱形中，，点是线段上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，探究与的数量关系．【学以致用】
如图，在中，，，，为上一点，满足.为延长线上一点，，与延长线交于点，求的长．
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【推荐1】如图，正方形ABCD和正方形OPEF中，边AD与边OP重合，
，
，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且
.将正方形OPEF以每秒2个单位的速度向右平移，当点F与点B重合时，停止平移．设平移时间为t秒.
(1)请求出t的取值范围；
(2)猜想：正方形OPEF的平移过程中，OE与NM的位置关系．并说明理由．
(3)连结DE、BE．当
的面积等于7时，试求出正方形OPEF的平移时间t的值．
，，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且.将正方形OPEF以每秒2个单位的速度向右平移，当点F与点B重合时，停止平移．设平移时间为t秒.(1)请求出t的取值范围；
(2)猜想：正方形OPEF的平移过程中，OE与NM的位置关系．并说明理由．
(3)连结DE、BE．当
的面积等于7时，试求出正方形OPEF的平移时间t的值．备用图
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解题方法
【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（-2，
），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．
(1)证明：△MAB是等边三角形．
(2)在⊙M上是否存在点D，使△ACD是直角三角形，若存在，试求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若P（m，n）是过A，B，C三点的抛物线上一点，当∠APB≤30°时，直接写出m的取值范围．
），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．(1)证明：△MAB是等边三角形．
(2)在⊙M上是否存在点D，使△ACD是直角三角形，若存在，试求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若P（m，n）是过A，B，C三点的抛物线上一点，当∠APB≤30°时，直接写出m的取值范围．
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(0.4)
【推荐3】【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形
的一个顶点重合于点B，使边，
分别落在边，上．容易发现
且
．
固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转（
）．
（1）如图2，连接
，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由．
（2）小组研究发现：如图3，连接，在旋转过程中，存在
与
全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数 ．
【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转a（）．
（3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段的长；
（4）如图4，连接
，取中点H，连接
，请直接写出线段长度的最大值．
与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边，上．容易发现且．
固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转（）．（1）如图2，连接
，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由．（2）小组研究发现：如图3，连接
，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数 ．【问题拓展】将图1中正方形
固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转a（）．（3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段
的长；（4）如图4，连接
，取中点H，连接，请直接写出线段长度的最大值．
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(0.4)
名校
【推荐1】如图乙，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线 BD，CE的交点．
（1）如图甲，将△ADE 绕点A 旋转，当 C、D、E 在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个．（回答直接写序号）
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2(AD2+AB2)
（2）若 AB=4，AD=2，把△ADE 绕点 A 旋转，
①当∠CAE=90°时，求 PB 的长；
②直接写出旋转过程中线段 PB 长的最大值．
（1）如图甲，将△ADE 绕点A 旋转，当 C、D、E 在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个．（回答直接写序号）
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2(AD2+AB2)
（2）若 AB=4，AD=2，把△ADE 绕点 A 旋转，
①当∠CAE=90°时，求 PB 的长；
②直接写出旋转过程中线段 PB 长的最大值．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，已知：在矩形中，
，
，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为
；与点P同时，点Q从D点出发，沿
方向匀速运动，速度为
；过点Q作
，交DC于点E，设运动时间为
，
，解答下列问题：
(1)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使
平分
？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(2)设五边形
的面积为y，求y与t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使
是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
中，，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；与点P同时，点Q从D点出发，沿方向匀速运动，速度为；过点Q作，交DC于点E，设运动时间为，，解答下列问题：(1)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使
平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(2)设五边形
的面积为y，求y与t的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使
是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿
匀速运动，其中点P运动的速度是
，点Q运动的速度是
，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为
，解答下列问题：
的面积为
，求S与t的函数关系式；
交
，当t为何值时，
．
