【推荐1】【问题背景】
如图①所示，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
【类比研究】
如图②所示，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）．
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；
（3）连结AE，若AF=DF，AB=7，求△DEF的边长．

【推荐2】如图，在中，，，延长至，恰好使得，．

(1)求：的度数；
(2)求证：为等边三角形．

【推荐3】数学模型学习与应用：
（1）学习：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D；又∠ACB＝∠AED＝90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝　 　，BC＝　 　．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．
（2）应用：如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若DE＝a，BD＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）；
（3）拓展：如图3，在（2）的条件下，若α＝120°，且△ACF是等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由．

【推荐1】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．试判断四边形AODE的形状，并说明理由．

【推荐2】在①AE＝BF；②BE＝CF；③∠AED＝∠BFD这三个条件中选择一个，补充便下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别在AB、BC边上，若                         ，请判断△DEF的形状，并证明结论．

【推荐3】如图，在四边形中，，，E是上一点，交于F，连接．

（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形；
（3）在（2）的条件下，当与有什么样的位置关系时，，并说明理由．

【推荐1】教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
   
请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
如图②，在四边形中，，点在边上．平分，平分．
（1）求证：．
（2）若，，则的长为______．
   

【推荐2】如图，在中，，，于求证：．

【推荐3】如图，正方形中，是上一点（点不与点，重合），连接，作，交于点．
（1）求证：；
（2）若，点为的中点，求的长．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E．

(1)        ，        ；
(2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标；
(3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在中，是边上的中线，是锐角，且，．

(1)求的度数与的长；
(2)求的值．

【推荐3】如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，表示地面所在的直线，其中和表示两根较粗的钢管，表示座板平面，，交于点，且，长，，，长，长，

（1）求座板的长；
（2）求此时椅子的最大高度（即点到直线的距离）．（结果保留根号）