【推荐1】如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长．

【推荐2】（1）数学兴趣小组同学将制作的和摆放成如图①所示的位置，且，，判断和的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，在中，，将线段绕点C顺时针旋转（），得到线段，连接、．小组同学发现无论为何值，的大小不变，请你计算这个定值，并写出计算过程；

（3）在第（2）问的基础上，在图②中作的平分线交于点F，交的延长线于点E，连接．用等式表示线段、、之间的数量关系；并证明．

【推荐3】如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为，称这样的三角形为“中垂三角形”，设．

【特例探索】
①如图1，当时，______，______；
②如图2，当时，______，______．
【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对三者之间关系的猜想，并利用图3证明三者之间的关系．

【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，弦AC=BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE，连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．

(1)求证∶直线BF是⊙O的切线；
(2)若AF长为5，求⊙O的半径及DB的长．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于P点，过其顶点C作直线CH⊥x轴于点H．
（1）若∠APB＝30°，请直接写出满足条件的点P的坐标；
（2）当∠APB最大时，请求出a的值；
（3）点P、O、C、B能否在同一个圆上？若能，请求出a的值，若不能，请说明理由．
（4）若a＝ ，在对称轴HC上是否存在一点Q，使∠AQP＝∠ABP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在中，点在边上，且，已知，．   
（1）求的度数；
（2）我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求的长；
③在直线或上是否存在点（点、除外），使是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点，简要说明画出点的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴负半轴于点C.

(1)如图1，m＝3
①直接写出A，B，C三点的坐标；
②若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标；
(2)如图2，过点E(m，2)作一直线交抛物线于点P，Q两点，连接AP，AQ，分别交y轴于M，N两点，求证：OM•ON是一个定值.

【推荐3】如图1，点A是反比例函数（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数（k＜0，x＜0）的图象于点B．

（1）若S△AOB=3，则k=______；
（2）当k=-8时：
①若点A的横坐标是1，求∠AOB的度数；
②将①中的∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N，如图2所示．在旋转的过程中，∠OMN的度数是否变化？并说明理由；
（3）如图1，若不论点A在何处，反比例函数（k＜0，x＜0）图象上总存在一点D，使得四边形AOBD为平行四边形，求k的值．

【推荐1】如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．

【推荐3】如图，平行四边形ABCD中，AC＝BC，过A、B、C三点的⊙O与AD相交于点E，连接CE．
（1）证明：AB＝CE；
（2）证明：DC与⊙O相切；
（3）若⊙O的半径r＝5，AB＝8，求sin∠ACE的值．