【推荐1】正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点．

(1)求作点E，使得PE⊥BD于E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．

【推荐3】如图，分别以的边向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，

求证：（1）；
（2）．

【推荐1】如图，是的直径，，点C为上一点，，点为上一动点，点是的中点，求的最小值．

【推荐3】某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O₁和扇形O₂CD中，⊙O₁与O₂C、O₂D分别切于点A、B，已知∠CO₂D＝60°，E、F是直线O₁O₂与⊙O₁、扇形O₂CD的两个交点，且EF＝24cm，设⊙O₁的半径为xcm，
（1）用含x的代数式表示扇形O₂CD的半径；
（2）若⊙O₁和扇形O₂CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm²和0.06元/cm²，当⊙O₁的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？
   

【推荐1】如图，与中，，，，，，连接、．
   
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若，平分，求证：；
(3)如图3，与的延长线交于点，若，延长与交于点，在上有一点，且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想．

【推荐2】如图，抛物线与轴交于点．已知抛物线顶点纵坐标为．点P在此拋物线上，其坐标为．

(1)求抛物线的解析式．
(2)当时，结合图象，直接写出的取值范围．
(3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）恰有三个点到轴的距离为1．
①求的取值范围．
②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．

【推荐3】如图1，在中，延长到，使，点是下方一点，连接，，且．
   
(1)如图1，若，则______度；
(2)如图2，若，，将沿直线翻折得到，连接，连接交于，当时，求的长度；
(3)如图3，若，将沿直线翻折得到，连接，连接交于，交于，若，，，请直接写出线段的长度（用含的代数式表示）．

【推荐1】如图1，有一组平行线，正方形的四个顶点分别在上，过点D且垂直于于点Ｅ，分别交于点F，G，．
（1）AE=____，正方形ABCD的边长＝____；
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，点在直线上，以为边在的左侧作菱形，使点分别在直线上．
①写出与的函数关系并给出证明；
②若=30°，求菱形的边长．

【推荐2】等腰，．在上，，．

(1)如图1，连接，探究线段与线段的关系并证明；
(2)如图2，连接，交于为垂足，
①求证：；
②如图3，若交于为的中点，连接，交于，连．当，则的最小值为_____________．