（1）阅读理解
如图1，在
中，若
，
，求
边上的中线
的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点
使
，连接
，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 ．这种方法叫做倍长中线法．
（2）问题解决：
如图2，
，
，此时
成立吗？请说明你的理由．
（3）问题拓展：
如图3，已知：
，
，
，
，
为的中线，反向延长交
于点
，求证：
．
如图1，在
中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 ．这种方法叫做倍长中线法．（2）问题解决：
如图2，
，，此时成立吗？请说明你的理由．（3）问题拓展：
如图3，已知：
，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：．
更新时间：2024-03-13 14:43:10
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【推荐1】已知，在四边形
中，
，，连接
、
，如图1．
的度数；
(2)以为对角线，为边作
，如图2，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，若
，
，直接写出的长．
中，，，连接、，如图1．
的度数；(2)以
为对角线，为边作，如图2，试判断直线与的位置关系，并说明理由．(3)在（2）的条件下，若
，，直接写出的长．
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【推荐2】问题背景：数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图（1），在中，
，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，作
关于点
中心对称的图形，其中点
的对应点是点
．请你帮助小明完成画图和后面的解答．
尝试运用：如图（2），是的中线，
，
，
，试判断线段与
的关系，并加以证明．
迁移拓展：如图（3），是的中线，
，，直接用含
的代数式写出
与之间的面积关系．
中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，作
关于点中心对称的图形，其中点的对应点是点．请你帮助小明完成画图和后面的解答．尝试运用：如图（2），
是的中线，，，，试判断线段与的关系，并加以证明．迁移拓展：如图（3），
是的中线，，，直接用含的代数式写出与之间的面积关系．
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，点P是菱形边上或内部一点，连接
，
，点E在线段
上，点F在线段
上，且
，连接
，
，
．
的形状是______，
______．
，判断（1）中的两个结论是否仍然成立，并说明理由．
，若
，直接写出四边形
的面积．
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【推荐1】【问题背景】
(1)如图1，点P是线段
，
的中点，求证：
；
【变式迁移】
(2)如图2，在等腰中，是底边上的高线，点E为
内一点，连接
，延长到点F，使
，连接
，若
，若，
，求的长；
【拓展创新】
(3)如图3，在等腰中，
，
，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作
，连接
，若
，
，请直接写出的长．
(1)如图1，点P是线段
，的中点，求证：；【变式迁移】
(2)如图2，在等腰
中，是底边上的高线，点E为内一点，连接，延长到点F，使，连接，若，若，，求的长；【拓展创新】
(3)如图3，在等腰
中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接，若，，请直接写出的长．
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【推荐2】（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点E，使
，连接
，可得四边形
，求证：四边形是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作
，
，连接
．求证：四边形
是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图3，在中，
，
，
，点D是的中点，点M是直线上的动点，且，，当
取最小值时，求线段的长．
是的中线，延长至点E，使，连接，可得四边形，求证：四边形是平行四边形．（2）【拓展提升】如图2，在
的中线上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作，，连接．求证：四边形是平行四边形．（3）【灵活应用】如图3，在
中，，，，点D是的中点，点M是直线上的动点，且，，当取最小值时，求线段的长．
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中，
，
，
，
，连接
、
；
是
；
，连接
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，连接
并延长交直线DE于点P，过点D作DFAP于F．
（1）求∠FDP的度数；
（2）连接BP，请用等式表示线段BP与线段AF之间的数量关系，并证明．
（3）连接PC，若正方形的边长为
，直接写出
面积的最大值．
，连接并延长交直线DE于点P，过点D作DFAP于F．（1）求∠FDP的度数；
（2）连接BP，请用等式表示线段BP与线段AF之间的数量关系，并证明．
（3）连接PC，若正方形的边长为
，直接写出面积的最大值．
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【推荐2】某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线
同旁有两个定点、
，在直线上存在点
，使得
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解法：如图1，作点关于直线的对称点
，连接
，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，中，
，
，是的中点，是边上的一动点，则
的最小值为______；
(2)代数应用：求代数式
（
）的最小值；
(3)几何拓展：如图3，中，
，
，若在、上各取一点、使
的值最小，最小值是______．
直线
同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点
关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，
中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______；(2)代数应用：求代数式
（）的最小值；(3)几何拓展：如图3，
中，，，若在、上各取一点、使的值最小，最小值是______．
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交
轴于点
轴于点
，则点
交
，求
的值；
为
，求点
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【推荐1】如图，等边△ABC的边长为12，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=4，点F为BA延长线上一点，过点F作直线l∥BC，G为射线BC上动点，连接GD并延长交直线l于点H，连接FE并延长交BC于点M，连接HE并延长交射线BC于点N．
（1）若AF=4，当BG=4时，求线段HF和EH的长；
（2）若AF=a（a＞0），点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变．若不变，求出其值（用含a的代数式表示）；若改变，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，是否存在点C和点G是线段BN的三等分点的情况？若存在，求出此时a的值；若不存在，请说明理由．
（1）若AF=4，当BG=4时，求线段HF和EH的长；
（2）若AF=a（a＞0），点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变．若不变，求出其值（用含a的代数式表示）；若改变，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，是否存在点C和点G是线段BN的三等分点的情况？若存在，求出此时a的值；若不存在，请说明理由．
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【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，直线
与x轴、y轴分别交于A、B两点，现将
绕点O顺时针旋转到
，使得
，垂足为D，此时D点坐标为
，动点E从原点出发，以一个单位每秒的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒．
(1)请求出A点的坐标；
(2)如图2，当
时，交y轴于点M，求出此时点M的坐标；
(3)M为（2）中的点，当点E在运动过程中，直线
上有一点Q，是否存在以M、E、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
与x轴、y轴分别交于A、B两点，现将绕点O顺时针旋转到，使得，垂足为D，此时D点坐标为，动点E从原点出发，以一个单位每秒的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)请求出A点的坐标；
(2)如图2，当
时，交y轴于点M，求出此时点M的坐标；(3)M为（2）中的点，当点E在运动过程中，直线
上有一点Q，是否存在以M、E、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
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