【推荐2】如图，在中，，，以AB为直径作，连接，过点B作交于点D，连接AD交OC于点E．
   
（1）求证：；
（2）若的半径为4，求OE的长．

【推荐3】已知：点为平分线上一点，于于，点、分别是射线、上的点，且．

(1)当点M在线段上，点N在线段的延长线上时（如图1），求证：；
(2)在（1）的条件下， ___________；
(3)当点M在线段的延长线上时（如图2），若，求四边形的面积．

【推荐2】在平面直角坐标系，点A（a，0），点B（0，b），已知a，b满足a²+b²+8a+8b+32=0．

（1）求点A、B的坐标；
（2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交x轴于点D，若点F的坐标为（-2，c），求c的值及OE的长；
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EG⊥AB于点G，过点B作BC//x轴交EG的延长线于点C，连接OC、AC，试判断△AOC的形状，并说明理由．

【推荐3】从三角形一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．
（1）如图，在△ABC中，AD为角平分线，∠B=50°，∠C=30°，求证：AD为△ABC的优美线；
（2）在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的优美线，且△ABD是以AB为腰的等腰三角形，求∠BAC的度数；
（3）在△ABC中，AB=4，AC=2，AD是△ABC的优美线，且△ABD是等腰三角形，直接写出优美线AD的长．

【推荐1】如图，在正方形中，点M在边上，点N在正方形外部，且满足，．连接，，取的中点E，连接，，交于F点．

(1)依题意补全图形1，并直接写出的度数；
(2)请探究线段，，所满足的等量关系，并证明你的结论；
(3)设，若点M沿着线段从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段所扫过的面积为________（直接写出答案）．

【推荐3】如图，点E，F分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转90°得到．

(1)求证；
(2)若，，求正方形的边长．

【推荐1】如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数及的长；
（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、、，作出图象，求的长．

【推荐2】如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，⊙经过点C且与边相切于点E，．

(1)求证：是⊙的切线；
(2)若，，求⊙的半径及的长．

【推荐3】如图，在四边形中，和相交于点，，．
     
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，分别是的中点，连接，，，，，和相交于点，若，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积4倍的所有三角形．