【推荐2】在菱形中，对角线，交于点，，是线段上一点，连接如图，的角平分线交于点交于点若，交于点，交于点，过点作，交于点．

(1)当时，求的面积；
(2)求证：；
(3)如图，若，连接，过点作于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，取的中点，连接如果，在旋转过程中，当值最大时，直接写出的面积．

【推荐3】学校数学社团在学完圆周角的有关知识后，进行了如下的探究活动．
【问题发现】
已知内接于，点D是弦所对弧的中点，连接，则弦，，之间一定存在某种等量关系．
【问题探究】

   

(1)如图1，若，，当点A、D位于弦的异侧，且D是的中点，容易得到：　        ；
(2)如图2，若，D是弦所对的优弧的中点，请你探索弦，，之间的等量关系，并说明理由；
【迁移应用】
(3)如图3，若，，，点D是弦所对弧的中点，连接，求的长．

【推荐1】数学活动课上．老师给出如下定义：如果一个矩形的其中一边是另一边的2倍，那么称这个矩形为“和谐矩形”．如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，则矩形ABCD是“和谐矩形”．E是AD边上任意一点，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．
（1）试判断四边形BFEG的形状．并说明理由；
（2）如图2，在“和谐矩形”ABCD中，若AB＝2，且AB＜AD，E是边AD上一个动点，把△ABE沿BE折叠．点A落在点从A′处，若A'恰在矩形的对称轴上，则AE的长为        ；
（3）如图3，记四边形BFEG的面积为S1，“和谐矩形”BFEG的面职为S2，且＝ ，若AB＝a（a为常数），AB＜AD，求FG的长，（用含有a的代数式表示）．

【推荐3】如图，在中，，，过点A作，垂足为，且，是线段上一点，过作，垂足为F．

(1)请直接写出的长为　 　；
(2)如图1，若点在的角平分线上，求的长；
(3)如图2，连接，点为点A关于的对称点．
①连结，，当四边形中有两边互相平行时，求的长；
②连结交于点，点在点的上方，若，则　　 ．

【推荐2】如图1，平行四边形中，，，，点在延长线上且，为半圆的直径且，．
如图2，点从点处沿方向运动，带动半圆向左平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止平移．
如图3，停止平移后半圆立即绕点逆时针旋转，每秒转动5°，点落在直线上时停止运动，运动时间为秒．
   
(1)如图1，______；
(2)如图2，当半圆与边相切于点，求的长；
(3)如图3，当半圆过点，与边交于点，
①求平移和旋转过程中扫过的面积；②求的长；
(4)直接写出半圆与平行四边形的边相切时的值．（参考数据：，）

【推荐3】在中，，，．点在射线上从点开始运动，过点作切于点，设．
   
(1)如图，当为何值时，圆心落在上，此时与的另一个交点为，直接写出与的位置关系，并求劣弧的长；（注：，，，取3）
(2)若点以每秒3个单位长的速度运动，求圆心在内部的时长；
(3)若与边只有一个公共点，直接写出半径的取值范围．

【推荐1】已知，BF为直径，弦AB交弦CD于点E，连接AD、CF、BC，连接CG，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点G为BE上一点，连接CG，若，求证：；
(3)如图3，连接BD，，过点A作的切线交CF的延长线于点H，过点B作，作交BK于点K，连接DK，若，，求DK的长．