【推荐1】定义：在平行四边形中，若有一条对角线是一边的两倍，则称这个平行四边形为两倍四边形，其中这条对角线叫做两倍对角线，这条边叫做两倍边．
如图1，四边形是平行四边形， ，延长交于点，连结交于点，， ．
（1）若，如图2．
①当时，试说明四边形是两倍四边形；
②是否存在值，使得四边形是两倍四边形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）如图1，四边形与四边形都是两倍四边形，其中与为两倍对角线，与为两倍边，求的值．

【推荐2】【探究】（1）如图①，点E、F、G、H分别在平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，连结EF、FG、GH、HE，将△AEH、△BFE、△CGF、△DHG分别沿EF、FG、GH、HE折叠，折叠后的图形恰好能拼成一个无重叠、无缝隙的矩形．若，，求的长．
【拓展】（2）参考图②，四边形ABCD是平行四边形，∠A=120°，，当按图①的方式折叠后的图形能拼成一个无重叠、无缝隙的正方形时，则___________．

【推荐3】已知，如图①，在中，，，AC的垂直平分线分别交AD，AC，BC于点E，O，F，连接AF，CE．

(1)求证：；
(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当点P运动到FB上，点Q运动到DE上，且四边形APCQ是平行四边形时，求t的值；
②设点P，Q的运动路程分别为a，b，当四边形APCQ是平行四边形时，求a与b满足的数量关系式．

【推荐1】如图1，在菱形中，，．动点从点出发，沿边以每秒1个单位长度的速度运动，到点时停止，连接，点与点关于直线对称，连接，．设运动时间为（秒）．

(1)菱形对角线的长为___________；
(2)如图2，当点恰在上时，求的值；
(3)当时，求的周长；
(4)直接写出在整个运动过程中，线段扫过的面积．

【推荐2】如图，在菱形ABCD中，，连接BD．
   
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在线段AD上一动点，且.
①如图2，当时，求四边形ABEF的面积；
②如图3，设，四边形ABEF的面积为y，当x取何值时，y有最小值，并求出y的最小值．

【推荐3】如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点的坐标为（3，4），一次函数的图像与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足，M是线段DE上的一个动点
（1）求b的值；
（2）连接OM，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标；
（3）设N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．

【推荐3】如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD．

（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）求证：；
（3）若，⊙O的半径为3，求OA的长．