【推荐3】某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
问题提出
如图，在正方形中，，为的中点，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角的度数为，交于点，连接．

（1）当过的中点时，的值为______；
操作发现
（2）当时，求证：；
数学思考
（3）在旋转的过程中，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，直接写出此时的长；如果不存在，说明理由．

【推荐3】两个顶角相等的等腰三角形．如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，，△ADE中，，且，连接DB，EC，则可证得，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段．

(1)如图2，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且．
①图中线段AE的“友好”线段是______；
②连接AD，若，，，求AE的长；
(2)如图3，△ABC是等腰直角三角形，，P是△ACB外一点，，，，求线段BP的长．