【推荐2】如图1，在中，过点C作于点D，过上一点F作于点F，交于点H，交于E，且．
（1）若，且，求线段的长．
（2）如图2，过E作与点G，连接，求证，．

【推荐3】正方形，点在直线上，点F在直线BC上，，垂足是．

(1)当点在边上时，如图①，求证：；
(2)当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，直接写出线段之间的数量关系，不需要证明；
(3)在（1）、（2）的的条件下若，则=                   ．

【推荐1】如图，在中，过半径OD中点C作AB⊥OD交O于A，B两点，且.

（1）求OD的长；
（2）计算阴影部分的面积.

【推荐2】已知等腰三角形中，．
   
(1)用直尺和圆规作出的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，求的外接圆半径．

【推荐3】已知：如图，⊙O₁与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O₁的纵坐标为．求⊙O₁的半径．

【推荐2】请阅读下列材料，并完成相应的任务．
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，

下面是运用“补短法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，延长到点F，使得，连接DA，DB，DC和DF．
∵是的中点
∴
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分：
（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，．于点，则的周长是______．

【推荐3】如图，PA，PB是的两条切线，切点分别为A，B．连接OP交于点C，连接AC，BC．

(1)求证：C是的中点；
(2)若，求AP的长．