【推荐1】菱形ABCD边长为1，∠ADC＝60°，等边△AEF的顶点E，F分别在边DC，CB上．

(1)如图1，若点E，F分别是边DC，CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC，BD的交点O即为等边△AEF的外心；
(2)如图2，若点E、F始终分别在边DC，CB上移动，记等边△AEF的外心为P．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明．

【推荐2】在平面直角坐标系中，点，，点为轴正半轴上一动点，过点作，分别交于点，交轴于点，连接．
   
(1)如图1，若点的坐标为，求点的坐标；
(2)如图2，若点在轴正半轴上运动，且，其它条件不变．求证：；
(3)若点在轴正半轴上运动，当时，依题意在图3中补全图形，并求出的度数．

【推荐3】如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且，连接PD，O为AC中点．

(1)如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，请说明理由；
(2)如图2，当点P在线段OC上时，直接写出PB、BC、CE之间的数量关系；
(3)如图3，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当时，连接，试探究线段PB与线段DE的数量关系，并说明理由．

【推荐1】在等边三角形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，交于点，连接．

(1)依题意补全如图．
(2)若，求．
(3)若，用等式表示线段之间的数量关系并证明．

【推荐2】在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，点，点旋转后的对应点分别为点，点．
   
(1)如图1，当点恰好为线段的中点时，       °，      ；
(2)当线段与线段有交点时，记交点为点D．
①在图2中补全图形，猜想线段与的数量关系并加以证明；
②连接，请直接写出的长的取值范围．

【推荐3】如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．

【推荐1】如图，矩形，，，，分别是线段、上的点，且四边形为矩形．
   
(1)求出的长；
(2)若是等腰三角形时，直接写出的长；
(3)若，求出的长．

【推荐2】在平面直角坐标系 xOy 中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W．
（1）如图 1，已知点A（－2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交 x 轴正半轴于点B．在P₁（0，4），P₂（0，1），P₃（0，3），P₄（4，0）这四个点中，独立于 的点是 ；

（2）如图2，已知点C（3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线y2x+8上的一个动点．若点P 独立于折线CD－DE，求点P的横坐标x_P的取值范围；
（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴正半轴与y轴正半轴上，线段OA，OB（OA＜OB）的长是方程x（x﹣4）+8（4﹣x）=0的两个根，作线段AB的垂直平分线交y轴于点D，交AB于点C．
（1）求线段AB的长；
（2）求tan∠DAO的值；
（3）若把△ADC绕点A顺时针旋转α°（0＜α＜90），点D，C的对应点分别为D₁，C₁，得到△AD₁C₁，当AC₁∥y轴时，分别求出点C₁，点D₁的坐标．

【推荐1】在中，，，点是线段的中点，，与线段相交于点．与线段（或的延长线）相交于点．

（1）如图1，若，垂足为，，求的长；
（2）如图2，将（1）中的绕点顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点．求证：；
（3）如图3，将（2）中的继续绕点顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线相交于点，作于点，若，求证：．

【推荐2】综合与实践
问题发现：
（1）如图1．在和中，，，，连接AD、BE相交于点，则
①______
②的度数=______

类比探究：
（2）如图2，在和中，，，连接AD交BE的延长线于点，请求的值及的度数，并说明理由．
拓展延伸：
（3）在（2）的条件下将绕点在平面内旋转，AD、BE所在的直线相交于点，若，，请直接写出当点与点重合时AD的长．