【推荐1】如图所示，直线的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于的C，且B为线段的中点，向上平移直线与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形为平行四边形．
   
(1)若，则点C的坐标为_______，反比例函数的表达式为_______；
(2)在（1）的条件下，求平移后的直线的函数表达式；
(3)当平行四边形的面积等于30时，求的值．

【推荐2】如图，已知，是等边三角形，CE是的外角∠ACM的平分线，点D为射线BC上一点，且∠ADE＝∠ABC，DE与CE相交于点E．
（1）如图1，如果点D在边BC上，求证：AD＝DE；
（2）如图2，如果点D在边BC的延长线上，那么（1）中的结论“AD＝DE”还成立吗？请说明理由；
（3）如果的边长为4，且∠DAC＝30°，请直接写出线段BD的长度．（无需写出解题过程）

【推荐2】如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．

（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；
（2）记△DGP的面积为S₁，△CDG的面积为S₂．试说明S₁-S₂是常数；
（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．

【推荐3】【问题情境】
（1）如图1，已知是正方形，是对角线上一点，求证：；请你完成证明．
   
【深入探究】
（2）如图2，在正方形中，点是对角线上一点，，，垂足分别为．，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
   
（3）如图3，延长，交于点，与交于点，为的中点，连接，则的形状为________．
   
【拓展应用】
（4）如图4，在正方形中，若，是上一点，过点作于，于．则最小值为________．