【推荐2】【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是的半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：在线段上截取，连接、．
1°当点P在直线外时，

证明过程缺失

2°当点P在直线上时，
易知．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为　　　　．
【拓展提升】如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则　　　　．

【推荐3】【项目式学习】

项目主题：守护生命，“数”说安全．

项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．

任务一：考察测量

（1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则        ；

任务二：模拟探究

如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．

（2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：

①当时（如图1），线段能通过直角弯道；

②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　      　；

③当时，线段不能通过直角弯道．

（3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值．

任务三：成果迁移

（4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：）

【推荐2】如图，四边形内接于．

   

(1)求证：；
(2)如图2，在线段上分别取点，连接并延长交于点，连接并延长，交于点，连接，当时，求证：；
(3)在（2）的条件下，当时，若，求的长．

【推荐3】在中，是延长线上一点，是的平分线，于，延长线于．

(1)若四边形是正方形（如图①，、分别与、相交于点、，求证：．
(2)如图②，若，、相交于．试探究、之间的数量关系，并说明理由．（用含的式子表示）