【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点坐标为，、两点关于直线对称，反比例函数图象经过点，点是直线上一动点.

（1）点的坐标为______；
（2）若点是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点是线段上一点（不与、重合），当四边形为菱形时，过点分别作直线和直线的垂线，垂足分别为、，当的值最小时，求出点坐标.

【推荐2】（1）【探究新知】如图1，已知与的面积相等，试判断与的位置关系，并说明理由．

（2）【结论应用】如图2，点M，N在反比例函数的图像上，过点M作轴，过点N作轴，垂足分别为E，F．试证明：．
（3）【拓展延伸】若第（2）问中的其他条件不变，只改变点M，N在反比例函数图像上的位置，如图3所示，与x轴、y轴分别交于点A、点B，若，请求的长．

【推荐1】结论:在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．如图1，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边△ABC的边长．

(1)李明同学做了如图2所示的辅助线：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形，连接PP′，从而问题得到解决．你能说说其中的理由吗？
(2)请你参考李明同学的思路，解决下列问题：
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

【推荐2】若，为等腰三角形，，，将绕点旋转，连接，为中点，连接，．

(1)若，如图1，试探究与的关系并证明；
(2)若，，如图2，请直接写出与的关系．

【推荐2】如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BCx轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；
（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点E，F分别是边，上的点，连接，，且于点G，若，，求的值．

（1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】
（2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点点E，交于点F，求的值．
【灵活运用】
（3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，则______．

【推荐1】已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒．

(1)当为何值时，四边形是平行四边形？
(2)在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在线段上有一点，且，当运动________秒时，四边形的周长最小，并写出点的坐标________．

【推荐2】（1）【探究发现】如图①，已知四边形是正方形，点E为边上一点（不与端点重合），连接，作点D关于的对称点，的延长线与的延长线交于点F，连接，．
   
①小明探究发现：当点E在上移动时，，并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长交于点．
②进一步探究发现，当点与点F重合时，___________．
（2）【类比迁移】如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，作点D关于的对称点，的延长线与BC的延长线交于点F，连接，，，当，，时，求的长；
（3）【拓展应用】如图③，已知四边形为菱形，，，点F为线段上一动点，将线段绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长．

【推荐3】在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点．

(1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________；
(2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S．
①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．