【推荐1】综合与实践：
已知：等边．

【观察猜想】如图①：D为线段上一点，，交于点E．可知为______三角形．
【实践发现】如图②：D为线段外一点，连接，以为一边作等边三角形．连接．猜想与数量关系为______，直线与相交所产生的交角中的锐角为______．
【深入探究】：D为线段上一点，F为线段延长线上一点，且．
（1）特殊感知：当点D为的中点时，如图③，猜想线段与的数量关系为______；
（2）特例启发：当D为上任意一点，其余条件不变，如图④，猜想线段与的数量关系？并说明理由．
（3）拓展延伸：在等边三角形中，点D在直线上，点F在直线上，且．若的边长为2，，则的长为______．

【推荐2】【问题背景】（1）如图（1），为的边上的一点，，过点作，且，连接，求证：；
【变式迁移】（2）如图（2），在中，，平分，点在上，且，若点分别到，的距离之比为，求证：；
【拓展创新】（3）如图（3），在中，，，，，分别是，上的点，且，直接写出的最小值．

【推荐1】如图，在同一平面内的和，连接，点分别是线段的中点，绕点自由旋转时，三点会在同一条直线上．
   
(1)如图1，当和都是等边三角形时，判断线段的数量关系，并给出证明；
(2)如图2，当和都是等腰直角三角形时，请直接写出线段的数量关系________；
(3)如图3，当，，时，求点到直线的距离．

【推荐2】已知：点D是边BC所在直线上的一个动点（点D与点B，C不重合），，，连接DA，点D绕点A顺时针转90°得到点E，连接BE，AE，DE．

(1)如图1，当点D在线段CB的延长线上时，请你判断线段BE与线段CD之间的关系，并证明你判断的结论．
(2)如图2，当点D在线段BC上，且时，直接写出四边形AEBC的面积．
(3)点D绕点A逆时针转90°得到点F，连接CF，AF，DF，当时，直接写出线段CF的长．

【推荐3】如图，是等腰直角三角形，，点P是直线BC上一动点，连接AP，分别过B、C作直线AP的垂线，垂足分别为点E、F，取BC的中点Q，连接QE、QF．

(1)如图1，若点P在BC的延长线上且，，求BC的长；
(2)如将2，若P是BC的延长线上任意一点，求证：；
(3)如图3，作点C关于直线AP的对称点，连接，若，请直接写出当QC取得最大值时PC的长．

【推荐3】如图，在中，AB是直径，，C是弧PB上一点，过点C做，垂足是E，交于D，交AP的延长线于点F，连结CA，CB，PC，PD．

(1)证明：；
(2)若，求β与α满足的关系式；
(3)连结AD，若，求．