【推荐1】如图，在正方形中，E是上一点，连接．过点A作，垂足为F，经过点C、D、F，与相交于点G．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若正方形的边长为5，，求的正切值和的半径．

【推荐3】如图，已知四边形内接于，是的中点，于，与及的延长线分别交于点、，且．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如果，，求的值．

【推荐1】有两张完全重合的长方形纸片，将其中一张绕点顺时针旋转后得到长方形（如图1），连接，，若，．
   
(1)试探究线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)把与剪去，将绕点顺时针旋转得，边交于点（如图2），设旋转角为，当为等腰三角形时，求的度数；
(3)若将沿方向平移得到（如图3），与交于点，与交于点，当四边形恰好是长方形时，求平移的距离．

【推荐2】【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中．
【问题探究】
小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转．

   

(1)如图2，当点E落在边上时，延长交于点F，求的长．
(2)若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线的距离．
(3)连接，取的中点G，三角板由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．
(4)如图4，G为的中点，则在旋转过程中，点G到直线的距离的最大值是______．

【推荐1】如图1，内接于圆为直径，点在的上方，且．连结是边上的高，过点作交的延长线于点，交于点．

(1)求证：．
(2)当时，求的值．
(3)如图2，取的中点，连结．
①若，在点运动的过程中，当四边形的其中一边长是的2倍时，求所有满足条件的的长．
②连结，当的面积是的面积的2倍时，则______（请直接写出答案）

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+bx+c交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），交y轴正半轴于点C，OC＝4OA，S_△ABC＝24．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作PD⊥AB于点D，连接AP交y轴于点E，过点E作EG⊥PD于点G，设点P的横坐标为t（t≤1），PG的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点B作BF⊥EG交EG的延长线于点F，点Q在线段GF上，连接DQ、PQ，将△DGQ沿DQ折叠后，点G的对称点为点H，DH交BF于点M，连接MQ并延长交DP的延长线于点N，当∠DQM＝45°，tan∠PQN＝时，求直线PQ的解析式．
       

【推荐3】如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
   
(1)求该二次函数的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点，在轴上有一点，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在请直接写出点的坐标：         ．
(3)点坐标为，抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点坐标，若不存在，说明理由．

【推荐1】如图1，某玩具风车的支撑杆垂直于桌面，点为风车中心，，风车在风吹动下绕着中心旋转，叶片端点，，，将四等分，已知的半径为．

(1)风车在转动过程中，当时，点在左侧，如图2所示，求点到桌面的距离（结果保留根号）；
(2)在风车转动一周的过程中，求点到桌面的距离不超过时，点所经过的路径长（结果保留）；
(3)连接，当与相切时，求切线长的值，并直接写出，两点到桌面的距离的差．