【问题发现】
（1）如图1，在
中，
，若将绕点O逆时针旋转
得
，连接
，则
________．
【问题探究】
（2）如图2，已知
是边长为
的等边三角形，以
为边向外作等边
，P为内一点，连接
，将
绕点C逆时针旋转
，得
，求
的最小值；
【实际应用】
（3）如图3，在长方形
中，边
，P是边上一动点，Q为
内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得
有最小值？若存在，请求出此时
的长，若不存在，请说明理由．
（1）如图1，在
中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________．【问题探究】
（2）如图2，已知
是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值；【实际应用】
（3）如图3，在长方形
中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由．
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2024年四川省达州市九年级中考数学模拟预测题一四川省达州市2023年中考数学模拟预测题（二）（已下线）抢分秘籍11 几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题（4题型）-备战2024年中考数学抢分秘籍（全国通用）
更新时间：2024-03-23 14:12:44
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较难
(0.4)
【推荐1】问题探究
【操作发现】
如图①，在等边中，点B，C在直线
上，E为边上的一点，连接
，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段
，连接
，则线段与
的数量关系是 ，线段与直线所夹锐角的度数是 ；
【类比探究】
如图②，在正方形中，点B，C在直线上，E为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转
得到线段，连接，试探究线段与的数量关系及线段与直线所夹锐角的度数，并说明理由．
【操作发现】
如图①，在等边
中，点B，C在直线上，E为边上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是 ，线段与直线所夹锐角的度数是 ；【类比探究】
如图②，在正方形
中，点B，C在直线上，E为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，试探究线段与的数量关系及线段与直线所夹锐角的度数，并说明理由．
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐2】（1）已知等边△ABC内接于⊙O．点P为
上的一个动点，连结PA、PB、PC．
①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由；
②如图2，点P为上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．
上的一个动点，连结PA、PB、PC．①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由；
②如图2，点P为
上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．
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中，
，
，将
得到
，点B、C的对应点分别是E、D．
时，连接
；
的度数；
，点Q是线段
为等腰三角形且
为直角三角形？若存在，请求出满足条件的
的长；若不存在，请说明理由．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】已知，直线
分别与
轴，
轴交于点
，点
，过点的直线
交轴于点
．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点
为直线上的一个动点，
为线段
的中点，若的面积与
的面积相等，求点的坐标；
(3)如图2，
为直线上一点，经过点的直线：
交轴于点
，交轴于点
，连接
，求证：
为定值．
分别与轴，轴交于点，点，过点的直线交轴于点．(1)求直线
的解析式；(2)如图1，点
为直线上的一个动点，为线段的中点，若的面积与的面积相等，求点的坐标；(3)如图2，
为直线上一点，经过点的直线：交轴于点，交轴于点，连接，求证：为定值．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图1，E是正方形外一点，且满足
，连接
．平分
；
(2)如图2，连接，求证：
；
(3)如图3，M是的中点，作
于点N，连接
，求证：
．
外一点，且满足，连接．
平分；(2)如图2，连接
，求证：；(3)如图3，M是
的中点，作于点N，连接，求证：．
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐3】如图，在直角坐标系中，点A(0，6)，B(8，0)，点C是线段AB的中点，CD⊥OB交OB于D，Rt△EFH的斜边EH在射线AB上，顶点F在射线AB的左侧，EF∥OA，点E从点A出发，以每秒1个单位的速度向B运动，到点B停止，AE=EF，运动时间为t（s）.
(1)在Rt△EFH中，EF= ，EH= ,点F坐标为（ ， ）（用含t的代数式表示）
(2)t为何值时，H与C重合？
(3)设△EFH与△CDB重叠部分图形的面积为S(S>0)，求S与t的函数关系式．
(4)在整个运动过程中，Rt△EFH扫过的面积是多少？
(1)在Rt△EFH中，EF= ，EH= ,点F坐标为（ ， ）（用含t的代数式表示）
(2)t为何值时，H与C重合？
(3)设△EFH与△CDB重叠部分图形的面积为S(S>0)，求S与t的函数关系式．
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，在矩形中，
，为
边的中点，为对角线
的中点，以点为顶点作
，
交边于点
，
交边于点
，连接．
(1)求
的值；
(2)求证：
；
(3)作射线与射线交于点
，若
，
，求
的长．
中，，为边的中点，为对角线的中点，以点为顶点作，交边于点，交边于点，连接． (1)求
的值；(2)求证：
；(3)作射线
与射线交于点，若，，求的长．
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较难
(0.4)
【推荐2】如图1，半圆O的直径为，点M为半圆上一动点（不与点A，B重合），点N为弧
的中点，
于点D，过点M的切线交
的延长线于点C，连结
．
（1）若
（如图2所示），
①求证：
；
②填空：四边形
是哪种特殊的四边形？（直接写出结论）__________．
（2）填空：当
______°时，四边形
为菱形．（直接写出结论）
，点M为半圆上一动点（不与点A，B重合），点N为弧的中点，于点D，过点M的切线交的延长线于点C，连结．（1）若
（如图2所示），①求证：
；②填空：四边形
是哪种特殊的四边形？（直接写出结论）__________．（2）填空：当
______°时，四边形为菱形．（直接写出结论）
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中，
，
，
．点P从点B出发，沿
方向匀速运动，速度为
；同时，点Q从点D出发，沿
方向匀速运动，速度为
，交
于点M，过点Q作
，交
于点N分别连接
，设运动时间为
．解答下列问题：
时，求t的值；
的面积为
，求S与t之间的函数关系式；
时，求t的值；
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】已知抛物线
是常数，
，自变量与函数值的部分对应值如下表：
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______．
(2)求抛物线的解析式和
的值．
(3)将抛物线
的图象记为
，将绕点
旋转
后的图象记为
合起来得到的图象记为，完成以下问题：
①若直线
与函数有且只有两个交点，直接写出
的取值范围．
②若对于函数上的两点
，当
时，总有
，直接写出
的取值范围．
是常数，，自变量与函数值的部分对应值如下表：
| 0 | 1 | 2 | 3 | … |
|
|
|
| 1 | … |
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______．
(2)求抛物线的解析式和
的值．(3)将抛物线
的图象记为，将绕点旋转后的图象记为合起来得到的图象记为，完成以下问题：①若直线
与函数有且只有两个交点，直接写出的取值范围．②若对于函数
上的两点，当时，总有，直接写出的取值范围．
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较难
(0.4)
【推荐2】如图：AD与⊙O相切于点D，AF经过圆心与圆交于点E、F，连接DE、DF，且EF=6，AD=4．
(1)证明：AD2=AE•AF；
(2)延长AD到点B，使DB=AD，直径EF上有一动点C，连接CB交DF于点G，连接EG，设∠ACB=α，BG=x，EG=y．
①当
时，探索EG与BD的大小关系？并说明理由；
②当
时，求y与x的关系式，并用x的代数式表示y．
(1)证明：AD2=AE•AF；
(2)延长AD到点B，使DB=AD，直径EF上有一动点C，连接CB交DF于点G，连接EG，设∠ACB=α，BG=x，EG=y．
①当
时，探索EG与BD的大小关系？并说明理由；②当
时，求y与x的关系式，并用x的代数式表示y．
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解答题-作图题
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较难
(0.4)
【推荐3】综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，中，
．将从图1的位置开始绕点C顺时针旋转得到
（点A，B的对应点分别为点
），旋转角为α（
）．
操作思考：
（1）如图2，“明辨”小组画出了
恰好经过点B时的图形．求此时旋转角α的度数；
（2）如图3，“善思”小组画出了点
落在
延长线上时的图形，此时点
也恰好在的延长线上．过点B作的平行线交
于点P，猜想
和的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
（3）如图4，“博学”小组在图2的基础上，将
沿射线
的方向平移，点B，C，
的对应点分别为D，E，F，若
，当以A，，D为顶点的三角形是以为底边的等腰三角形时，请直接写出平移的距离．
问题情境：活动课上，同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，
中，．将从图1的位置开始绕点C顺时针旋转得到（点A，B的对应点分别为点），旋转角为α（）．操作思考：
（1）如图2，“明辨”小组画出了
恰好经过点B时的图形．求此时旋转角α的度数；（2）如图3，“善思”小组画出了点
落在延长线上时的图形，此时点也恰好在的延长线上．过点B作的平行线交于点P，猜想和的数量关系，并说明理由；拓展探究：
（3）如图4，“博学”小组在图2的基础上，将
沿射线的方向平移，点B，C，的对应点分别为D，E，F，若，当以A，，D为顶点的三角形是以为底边的等腰三角形时，请直接写出平移的距离．
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