【问题初探】
（1）在数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，
平分
，
，
平行于
交
延长线于点D，求证：
．
小亮同学从平分，，这两个条件出发给出如下解题思路：延长
交于点F，构造出一对特殊位置的全等三角形，进而运用它的性质进一步求解问题．
请你按照小亮的思路写出证明过程．
【类比分析】
（2）老师发现小亮同学的思路是：基于角平分线和垂直这两个已知条件，借助
构造特殊位置的全等三角形，添加了这一辅助线，改变了无法用原图形中条件求解的状况，使得全等三角形、等腰三角形的性质都有了用武之地，这样便在“已知”和“结论”之间搭建起桥梁，使问题可解．
为了帮助学生更好地感悟这种方法，老师提出了下面问题，请你解答．
如图2，在
中，
，
平分
，H是边上一点，
于G，
与
交于点F，点F恰好是的中点，求证：
．
【学以致用】
（3）如图3，P是
内一点，
，D在边上，连接
，
，过P作
，垂足为E，若
，
，
，
，求线段的长．
（1）在数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，
平分，，平行于交延长线于点D，求证：．小亮同学从
平分，，这两个条件出发给出如下解题思路：延长交于点F，构造出一对特殊位置的全等三角形，进而运用它的性质进一步求解问题．请你按照小亮的思路写出证明过程．
【类比分析】
（2）老师发现小亮同学的思路是：基于角平分线和垂直这两个已知条件，借助
构造特殊位置的全等三角形，添加了这一辅助线，改变了无法用原图形中条件求解的状况，使得全等三角形、等腰三角形的性质都有了用武之地，这样便在“已知”和“结论”之间搭建起桥梁，使问题可解．为了帮助学生更好地感悟这种方法，老师提出了下面问题，请你解答．
如图2，在
中，，平分，H是边上一点，于G，与交于点F，点F恰好是的中点，求证：．【学以致用】
（3）如图3，P是
内一点，，D在边上，连接，，过P作，垂足为E，若，，，，求线段的长．
更新时间：2024-04-03 21:37:19
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图，
、
均为等边三角形，
，
．将绕点
沿顺时针方向旋转，连接
、
．
(1)在图①中证明
；
(2)如图②，当
时，连接，求
的面积；
(3)在的旋转过程中，直接写出的面积
的取值范围．
、均为等边三角形，，．将绕点沿顺时针方向旋转，连接、．(1)在图①中证明
；(2)如图②，当
时，连接，求的面积；(3)在
的旋转过程中，直接写出的面积的取值范围．
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(0.4)
【推荐2】已知：如图①，为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为
中点，连接
．将
向右平移，使点B与点C重合；将
向下平移，使点A与点C重合，如图②．
(1)设、、
的面积分别为
、
、
，则
_______
（用“
、
、
”填空）
(2)已知：如图③，
，
，设
、
、
的面积分别为、、；问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（可利用图④进行探究）
为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为中点，连接．将向右平移，使点B与点C重合；将向下平移，使点A与点C重合，如图②．(1)设
、、的面积分别为、、，则_______（用“、、”填空）(2)已知：如图③，
，，设、、的面积分别为、、；问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（可利用图④进行探究）
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的值.
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(0.4)
【推荐1】等腰
，，
，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，若
，
，求B点的坐标；
(3)如图3，点
，Q，A两点均在x轴上，且
，分别以
为腰在第一、第二象限作等腰
、等腰
，
，
，连接
交y轴于P点，
的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求的取值范围．
，，，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．(1)如图1，求证：
；(2)如图2，若
，，求B点的坐标；(3)如图3，点
，Q，A两点均在x轴上，且，分别以为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，连接交y轴于P点，的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求的取值范围．
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【推荐2】如图，在中，，，点D在边所在直线上，将线段绕点A顺时针旋转
，得到线段
，连接
．
【动手操作】
（1）如图①，若点D是边的中点，在图①画出线段和，并证明
；
【问题探究】
（2）如图②，当点D在线段上时，过点C作的平行线，交于点F，试探究线段
与
的数量关系，请写出探究过程；
【拓展延伸】
（3）如图③，当点D在线段的延长线上时，过点E作
于点G，探究，
，之间的数量关系，并说明理由．
中，，，点D在边所在直线上，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．【动手操作】
（1）如图①，若点D是
边的中点，在图①画出线段和，并证明；【问题探究】
（2）如图②，当点D在线段
上时，过点C作的平行线，交于点F，试探究线段与的数量关系，请写出探究过程；【拓展延伸】
（3）如图③，当点D在线段
的延长线上时，过点E作于点G，探究，，之间的数量关系，并说明理由．
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，
，
，连
．
的度数；
，垂足为
，求
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【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于点
，与
轴交于点C，抛物线对称轴交轴于点
，抛物线顶点为点D，
．
(1)如图，求抛物线的解析式；
(2)如图，连接
，点
为第一象限的抛物线上一点，过点作
轴于点
，
的延长线交的延长线于点
，若点的横坐标为
，
的长为
，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)在(2)的条件下，连接
并延长交轴于点
，连接
，点
分别为抛物线(点
在点
之间)、轴上的点，分别连接
，
，连接
，点为上一点，连接
，将射线绕点逆时针旋转
后，交于点
，若
，求点的坐标．
与轴交于点，与轴交于点C，抛物线对称轴交轴于点，抛物线顶点为点D，．(1)如图，求抛物线的解析式；
(2)如图，连接
，点为第一象限的抛物线上一点，过点作轴于点，的延长线交的延长线于点，若点的横坐标为，的长为，求与的函数关系式，并写出的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接
并延长交轴于点，连接，点分别为抛物线(点在点之间)、轴上的点，分别连接，，连接，点为上一点，连接，将射线绕点逆时针旋转后，交于点，若，求点的坐标．
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐2】如图，已知为
的直径，为延长线上的动点，过点作的切线
，
为切点， 为上的动点，连接交于点．
（1）当平分
时，求证：
；
（2）当是的中点时，求证：
；
（3）当
，且
的周长被平分时，设
，试求
的值．
为的直径，为延长线上的动点，过点作的切线，为切点， 为上的动点，连接交于点．（1）当
平分时，求证：；（2）当
是的中点时，求证：；（3）当
，且的周长被平分时，设，试求的值．
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，若
．
交
于点F，若
，求
的长．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】已知，为
的直径，弦交于点，连接，
，
．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，点在弧上，连接
，过点
作
，交于点
，若
，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接
，若
，
，求的半径．
为的直径，弦交于点，连接，，．(1)如图1，求证：
；(2)如图2，点
在弧上，连接，过点作，交于点，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接
，若，，求的半径．
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真题
名校
【推荐2】如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．
①求点P的运动路程；
②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．
①求点P的运动路程；
②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．
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中，已知抛物线
经过
两点，交
上动点
的垂线交
，求线段
的长；
面积的最小值．
