（1）【探究发现】如图①，已知矩形
的对角线
的垂直平分线与边
，
分别交于点E，F．求证：四边形
是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线
分别交矩形的边，于点E ，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， 点D的对称点为
，若
，
，求的长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边 ，于点E ，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若
，
，
，求的长．
的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；（2）【类比应用】如图②，直线
分别交矩形的边，于点E ，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， 点D的对称点为，若，，求的长；（3）【拓展延伸】如图③，直线
分别交平行四边形的边 ，于点E ，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．
更新时间：2024-05-01 07:33:27
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真题
名校
【推荐1】如图1，在
中，
是
边上不与
重合的一个定点．
于点
，交
于点
．
是由线段
绕点
顺时针旋转
得到的，
的延长线相交于点
．
；
(2)求
的度数；
(3)若
是
的中点，如图2．求证：
．
中，是边上不与重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点．
；(2)求
的度数；(3)若
是的中点，如图2．求证：．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图1，在平行四边形ABCD中，AD
BC，E是CD的中点，AE⊥AB，AE，BC的延长线交于点F，在线段BF上取点M，N（点M在B，N之间），使得BM=FN=
MN．当点P从点M匀速运动到点N处时，点Q恰好从点F匀速运动到点A处．连接AP．设MP=x，AQ=y，已知y=－x+8．
(1)求BF，AF的长．
(2)当PQ⊥BC时（如图2），求
的周长．
(3)①当
APQ是以AP为腰的等腰三角形时，求x的值．
②将PQ绕点Q顺时针旋转90°得线段
Q，若点落在四边形ABCD的内部，请直接写出x的取值范围．
BC，E是CD的中点，AE⊥AB，AE，BC的延长线交于点F，在线段BF上取点M，N（点M在B，N之间），使得BM=FN=MN．当点P从点M匀速运动到点N处时，点Q恰好从点F匀速运动到点A处．连接AP．设MP=x，AQ=y，已知y=－x+8．(1)求BF，AF的长．
(2)当PQ⊥BC时（如图2），求
的周长．(3)①当
APQ是以AP为腰的等腰三角形时，求x的值．②将PQ绕点Q顺时针旋转90°得线段
Q，若点落在四边形ABCD的内部，请直接写出x的取值范围．
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上，
于点O，点G，F分别在边
上，
，求证：
；
，将矩形
折叠，使点A落在
，
交
交
，若
，
，求
解答题-作图题
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(0.4)
【推荐1】如图，已知是
的内接三角形，是直径．
(1)作
的角平分线交于（尺规作图，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，求证：
；
(3)在（1）的条件下，连接．若
，且
，求的长度．
是的内接三角形，是直径．(1)作
的角平分线交于（尺规作图，保留作图痕迹）．(2)在（1）的条件下，求证：
；(3)在（1）的条件下，连接
．若，且，求的长度．
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解答题-证明题
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(0.4)
【推荐2】如图，在平面直角坐标系
中，直线l：
与x轴，y轴分别交于A，B两点，动点
在x轴的正半轴上，以
为底在x轴上方作等腰
，使得底边上的高等于．
(1)如图1，当点N在直线l下方时，求a的取值范围；
(2)如图2，当点N在直线l上方时，
分别交直线l于E，F两点．
①连接
，当
时，直接写出点F的坐标，并证明
；
②将
沿着直线l对折，点N的对应点为
，若点落在x轴上方，求a的取值范围．
中，直线l：与x轴，y轴分别交于A，B两点，动点在x轴的正半轴上，以为底在x轴上方作等腰，使得底边上的高等于． (1)如图1，当点N在直线l下方时，求a的取值范围；
(2)如图2，当点N在直线l上方时，
分别交直线l于E，F两点．①连接
，当时，直接写出点F的坐标，并证明；②将
沿着直线l对折，点N的对应点为，若点落在x轴上方，求a的取值范围．
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AC，AB=1，求线段AE的长度；
解答题-作图题
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解题方法
【推荐1】如图，在矩形ABCD中，将△ABD沿对角线BD折叠，点A落在点E处，连接DE，BE，BE与CD交于点F．
（1）请你利用尺规作图，在图中作出点E，F的位置，并标上字母(保留作图痕迹，不要求写作法)；
（2）连接AE，若∠CDE=34°，则∠DAE= °．
（3）连接CE，若AB=16，AD=8，求△CEF的面积．
（1）请你利用尺规作图，在图中作出点E，F的位置，并标上字母(保留作图痕迹，不要求写作法)；
（2）连接AE，若∠CDE=34°，则∠DAE= °．
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解题方法
【推荐2】折纸过程中蕴含着很多数学知识，我们选取纸片的折叠问题进行探究：
操作1：如图1，将矩形纸片沿
（
是上一点）折叠，点落在点
处，连接
并延长交于点，过点折叠，折痕
．
探究1：
与
之间的关系是_______，由此可得出线段
之间的关系是_________．
操作2：取任意三角形纸片
，将其沿折叠，使与
重合，得折痕后展平，过点折叠，使折痕
（如图2）．
探究2：请用图2证明之间的关系仍然成立（不另添加辅助线）．
领悟：此结论是三角形角平分线的一个重要性质．
应用：如图3，直线
和
相交于点
，直线与
轴交于点
，是
的平分线，交轴于点
，求点的坐标．
操作1：如图1，将矩形纸片
沿（是上一点）折叠，点落在点处，连接并延长交于点，过点折叠，折痕．探究1：
与之间的关系是_______，由此可得出线段之间的关系是_________．操作2：取任意三角形纸片
，将其沿折叠，使与重合，得折痕后展平，过点折叠，使折痕（如图2）．探究2：请用图2证明
之间的关系仍然成立（不另添加辅助线）．领悟：此结论是三角形角平分线的一个重要性质．
应用：如图3，直线
和相交于点，直线与轴交于点，是的平分线，交轴于点，求点的坐标．
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(0.4)
【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，点P是弦BC上一动点（不与B，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，在射线EP上取点D使得DC=DP，连接DC.
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠CBA=30°，射线EP交⊙O于点 F，当点 F恰好是弧BC的中点时，判断以B，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠CBA=30°，射线EP交⊙O于点 F，当点 F恰好是弧BC的中点时，判断以B，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．
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【推荐2】综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在
中，
，
的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以
为邻边作
．
特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形
是正方形，请你证明这一结论；
（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接
，得到图2，发现图2中线段
与之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，
．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择________题．
A：当
，
时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．
B：当时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值．
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在
中，，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作． 特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形
为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论；（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接
，得到图2，发现图2中线段与之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对
展开类似研究．如图3，在中，．请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择________题．
A：当
，时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．B：当
时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值．
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，其中
．
，求
，且
．证明：四边形
经过点B，C．对于任意的
，当a，m的值变化时，抛物线会不同，记其中任意两条抛物线的顶点为
（
与
不重合），则命题“对所有的a，b，当
时，一定不存在
的情形．”是否正确？请说明理由．
