【推荐1】已知下面的点阵中水平方向与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．
（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段，使得．
（2）如图2，线段与交于点O，小辉在点阵中找到了点E，连接，恰好满足于点F，再作出点阵中的其他线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小辉计算与的值．
（3）如图3，线段与交于点O．在点阵中找到点E，连接，满足于点F，并求出与的值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，对于点和线段，我们定义点关于线段的线段比．

(1)已知点，，．
①点关于线段的线段比______；
②点关于线段的线段比______；
③点关于线段的线段比，求c的值．
(2)已知点，点，直线与坐标轴分别交于两点，若线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，直接写出m的取值范围．

【推荐1】如图，在中，，，点在边上，，过点作于点，分别以，为邻边作平行四边形，连接，．
   
(1)求的大小；
(2)求证：；
(3)如图，将图中的绕点旋转，其余条件保持不变，连接求在旋转过程中，线段长的最大值．

【推荐2】如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，二次函数（，且a、c 是常数）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，与直线l交于点D．已知CD与x轴平行，且．

(1)求点A的坐标；
(2)求此二次函数的解析式；
(3)点P为直线l上一动点，将线段AC绕点P顺时针旋转得到线段（点A、是对应点，点、是对应点）．请问：是否存在这样的点P，使得旋转后点和点分别落在直线l和抛物线的图像上？若存在，请直接写出点A．

【推荐3】如图，已知二次函数的图象经过A（3，0），B（0，1），C（2，2）三点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点D（，m ）在二次函数的图象上，将∠ACB绕点C按顺时针方向旋转至∠FCE，使得射线CE与轴的正半轴交于点E，且经过点D，射线CF与线段OA交于点F．求证：BE＝2FO；
（3）是否存在点H（n，2），使得点A、D、H构成的△ADH是直角三角形？若存在，有几个符合条件的点H？（直接回答，不必说明理由）

【推荐1】如图，∠AOB=90°，反比例函数y=﹣（x＜0）的图象过点A（﹣1，a），反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象过点B，且ABx轴．

(1)求a和k的值；
(2)过点B作MNOA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y=于另一点C，求的面积．

【推荐2】定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A－∠B＝2∠C，所以△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；
（1）如图1，△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”（其中∠BAC＞∠B），AB＝3，BC＝9，点D在BC上，且∠BAD＝∠C．求AC的长．
（2）如图2，等腰三角形ABC中，点D是底边BC的一个黄金分割点（CD＜BD），且AB＝AC＝BD．求证：△ABC是关于∠B的“差倍角三角形”．
（3）如图3，五边形ABCDE内接于圆，连接AC，AD与BE相交于点F，G，BF＝1，AB＝BC＝DE，△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”．设AB＝x，CD＝y，求y关于x的函数关系式．

【推荐3】如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．
（1）已知AC=3，求点B的坐标；
（2）若AC=a，D是OB的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O₁，函数的图象经过点O₁，求k的值（用含a的代数式表示）．

【推荐1】综合与探究
如图，抛物线y=﹣与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD，BD．设点M运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：
（1）求点A的坐标与直线l的表达式；
（2）①直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时的t的值；
②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；
（3）在点M运动的过程中，在直线l上是否存在点P，使得△BDP是等边三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，的半径为，正三角形的顶点B的坐标为，顶点A在上运动．

(1)当点A在x轴正半轴上时，求点C的坐标；
(2)点A在运动过程中，是否存在直线与相切的位置关系？若存在，请直接写出点C的坐标；
(3)设点A的横坐标为x，的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．

【推荐3】问题背景：折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，应用于全世界．折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支，其中比较著名的芳贺折纸几何三定理，已成为折纸几何学的基本定理．
芳贺折纸第一定理的操作过程以及内容如下：
第一步：如图1，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形展开，得到折痕；
第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交与点．
则点为的三等分点，即．
   
问题解决：如图1，若正方形的边长是8．
(1)的长为________________．
(2)请通过计算的长度，说明点P是的三等分点．
类比探究：
(3)将矩形按照上面的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点P也为的三等分点，则的值为__________．