【推荐1】如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，AE=CF．

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)当BE⊥EF时，BE=4，BF=6，求BD的长．

【推荐2】背景：在数学综合实践活动中，小明利用等面积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知是的角平分线，可证．小红经过思考，认为也可以构造相似三角形来证明，小红的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得．
证明：（1）请参照小红提供的思路，利用图2证明：；
运用：（2）如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G．若，，求线段的长；
拓展：（3）如图4，⊙O是的外接圆，是直径，点D是半圆的中点，连接交于点E．若，，求线段的长．

【推荐3】如图，已知的直径垂直弦于点E，连接并延长交于点F，且．

(1)求证：点E是的中点；
(2)若，求的长．

【推荐1】如图，在 中， ．

   

(1)在斜边 上求作一点， 连接，使 ；(要求：请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)延长到， 使，连接BD．若 ，求BC的长．

【推荐2】如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F.若，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)求菱形的面积．

【推荐3】已知：在矩形中，，，四边形的三个顶点E、F、H分别在矩形的边、、上．
（1）如图1，四边形为正方形，，求的长．
（2）如图2，四边形为菱形，设，的面积为S，且S与x满足关系式求自变量x的取值范围．

【推荐1】如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，的周长为36，求菱形的面积．

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝50cm，∠A＝60°，点D从C点沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点区从A点沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒(0＜t≤15)，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
(1)求证：AE＝DF；
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.

【推荐3】如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点与点重合，点的落点记为点，折痕为，连接． 

求证：四边形是菱形；
若，，，求线段的长．