【推荐3】已知抛物线经过点，与轴相交于点．
（1）求的值；
（2）过抛物线的顶点的直线与抛物线的另一个交点为，以线段为直径作圆与轴交于，两点，若，，．
①求抛物线的解析式；
②求的值．

【推荐2】（1）【发现】如图1，正方形的边长为4，点 E为中点．连接．将绕点 A 顺时针旋转 至 连接交于点 G．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点E作，交于点 H……请沿着小明的思路思考下去，则       
（2）【应用】如图2，菱形的边长为3，且，连接，点E为上一点，连接．将 绕点A顺时针旋转 至，连接交于点G，若，求的值；
（3）【拓展】如图3，在四边形中，，且．点E为上一点，连接．将 绕点A顺时针旋转至，连接交于点C，，请直接写出的长．

【推荐1】和都是等边三角形，连接，F，G，H分别是，，的中点，连接，，，．
   
(1)如图1，当点B，C，D在一条直线上时，线段与的数量关系为___________，___________°．
(2)当绕顶点C逆时针旋转到如图2所示的位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并证明．
(3)已知的边长为，的边长为2，在由图1的位置绕点C逆时针旋转一周的过程中，当时，请直接写出的长度．

【推荐2】【问题提出】
（1）如图①，在中，点D在边上，，且，则　　；
【问题探究】
（2）如图②，在中，， ，求出面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某市政中心计划由旧城改造出一块三角形空地，并拟定在中建一个户外健身区，其占地平面示意图为四边形，其中D为上一个三等分点（），过点D分别作 ，，且点分别在上．经过实地测量后得知：， m，现要求户外健身区所在四边形的面积最大，请你计算出户外健身区（即四边形）所占面积最大为多少？
   

【推荐3】如图，已知：在△ABC中，，点P是BC边上的动点．交AB于D．以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F．

(1)求证：．
(2)若，．
①当，求PC的长．
②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长．
(3)若，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为        ．

【推荐3】一次函数的图像与轴交于点，二次函数的图像经过点、原点和一次函数图像上的点．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，一次函数与二次函数的图像交于点、（），过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点．
①_________，_________（分别用含的代数式表示）；
②证明：；
(3)如图2，二次函数的图像是由二次函数的图像平移后得到的，且与一次函数的图像交于点、（点在点的左侧），过点作直线轴，过点作直线轴，设平移后点、的对应点分别为、，过点作于点，过点作于点．
①与相等吗？请说明你的理由；
②若，求的值．