如图，一小球M从斜坡
上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以用一次函数
表示，若小球到达的最高点的坐标为
，解答下列问题：
(2)求小球
在飞行的过程中离斜坡的最大高度（垂直于地面）；
(3)将小球的运动路线所在抛物线平移得到抛物线
，当平移后的抛物线与直线仅有一个交点，且交点在线段上时，
的取值范围是 ．
上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以用一次函数表示，若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题：
(2)求小球
在飞行的过程中离斜坡的最大高度（垂直于地面）；(3)将小球的运动路线所在抛物线平移得到抛物线
，当平移后的抛物线与直线仅有一个交点，且交点在线段上时，的取值范围是 ．
更新时间：2024-04-30 09:33:34
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较难
(0.4)
【推荐1】我们规定，以二次函数
的二次项系数a的2倍为一次项系数，一次项系数b为常数项构造的一次函数
叫做二次函数的“子函数”，反过来，二次函数叫做一次函数的“母函数”．
(1)若一次函数
是二次函数的“子函数”，且二次函数经过点
，求此二次函数的解析式及顶点坐标；
(2)若“子函数”
的“母函数”的最小值为1，求“母函数”的函数表达式；
(3)已知二次函数
的“子函数”图象直线l与x轴、y轴交于C、D两点，P点在直线l上方的抛物线上，求
面积的最大值．
的二次项系数a的2倍为一次项系数，一次项系数b为常数项构造的一次函数叫做二次函数的“子函数”，反过来，二次函数叫做一次函数的“母函数”．(1)若一次函数
是二次函数的“子函数”，且二次函数经过点，求此二次函数的解析式及顶点坐标；(2)若“子函数”
的“母函数”的最小值为1，求“母函数”的函数表达式；(3)已知二次函数
的“子函数”图象直线l与x轴、y轴交于C、D两点，P点在直线l上方的抛物线上，求面积的最大值．
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(0.4)
真题
【推荐2】综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y＝
x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为 ，点M的坐标为 ，cos∠ABO＝ ；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为 ；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系中，抛物线y＝
x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为 ，点M的坐标为 ，cos∠ABO＝ ；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为 ；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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(0.4)
【推荐1】【发现问题】北京时间2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕，中国女排在决赛中以
击败日本队，以全胜战绩成功卫冕，斩获队史亚运第9冠，爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究，
【提出问题】排球运动过程中距地面的竖直高度
与距垫球点的水平距离
近似满足怎样的函数关系？
【分析问题】经实地测量可知，排球场地长为
，球网在场地中央且高度为
，建立如图所示的平面直角坐标系．
中，描出了各组数值的对应点
．
(1)①请在上图坐标系中画出表示排球运行的轨迹；
②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式；
③通过计算，判断小宛这次发球能否过网，并说明理由；
(2)小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度OA，球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界（排球压线属于没出界），求击球高度OA的取值范围．
击败日本队，以全胜战绩成功卫冕，斩获队史亚运第9冠，爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究，【提出问题】排球运动过程中距地面的竖直高度
与距垫球点的水平距离近似满足怎样的函数关系？【分析问题】经实地测量可知，排球场地长为
，球网在场地中央且高度为，建立如图所示的平面直角坐标系．
中，描出了各组数值的对应点．水平距离 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 11 | 12 |
竖直高度 | 2.00 | 2.44 | 2.71 | 2.80 | 2.71 | 2.24 | 2.00 |
(1)①请在上图坐标系中画出表示排球运行的轨迹；
②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式；
③通过计算，判断小宛这次发球能否过网，并说明理由；
(2)小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度OA，球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界（排球压线属于没出界），求击球高度OA的取值范围．
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(0.4)
【推荐2】【发现问题】
如图1，小迪同学利用无人机玩“投弹”游戏，无人机以不变的速度水平飞行，他发现，在不同高度释放小球，小球落地点距小球释放点之间的水平距离都有所不同．
【提出问题】
为了准确投中目标，需要知道小球释放点距地面的竖直高度与小球释放点距落地点的水平距离之间的关系；
【分析问题】
小迪控制无人机在距水平地面不同的高度释放小球，分别测量了小球释放点距落地点的水平距离和竖直高度，实验结果如下表：
小迪同学建立平面直角坐标系，描出上面表格中每对数值所对应的点，得到图2，小迪根据图2中点的分布情况，确定其图象是二次函数图象的一部分，从而确定在一定高度释放小球的运动轨迹是一条抛物线．
【解决问题】
如图3，小迪控制无人机在距地面竖直高度为20米（
米）向右水平飞行．为了更形象的描述，小迪在平面坐标系内画出的抛物线与小球释放后的运动轨迹一致．
(1)请直接写出y与x的函数解析式；并求此时小球释放点O距落地点F之间的水平距离
应为多少米?
(2)在距点E正前方的12米（
米）地面点A上，有一高度为5米（
米），直径为
米（
米）的圆柱体目标，它的最大截面为矩形
和坐标轴在同一平面内．求无人机离开点O后，在什么飞行范围内释放小球，可以击中目标；
(3)若在距（2）中的圆柱体目标的正前方N处（
米）有一建筑物（建筑物的竖直高度大于20米）的侧面外形为直线l，直线l与x轴的交点为点M，建筑物l和地面的夹角为
，S为抛物线上一点，
是点S距建筑物的距离．求小球在击中圆柱体目标的过程中，距建筑物的最小距离．
如图1，小迪同学利用无人机玩“投弹”游戏，无人机以不变的速度水平飞行，他发现，在不同高度释放小球，小球落地点距小球释放点之间的水平距离都有所不同．
【提出问题】
为了准确投中目标，需要知道小球释放点距地面的竖直高度与小球释放点距落地点的水平距离之间的关系；
【分析问题】
小迪控制无人机在距水平地面不同的高度释放小球，分别测量了小球释放点距落地点的水平距离和竖直高度，实验结果如下表：
| 小球释放点距落地点的水平距离x（米） | 0 | 0.8 | 1.6 | 2.4 | 3.2 | 4 | 4.8 | … |
| 小球释放点距落地点的竖直高度y（米） | 0 | 0.2 | 0.8 | 1.8 | 3.2 | 5 | 7.2 | … |
【解决问题】
如图3，小迪控制无人机在距地面竖直高度为20米（
米）向右水平飞行．为了更形象的描述，小迪在平面坐标系内画出的抛物线与小球释放后的运动轨迹一致．(1)请直接写出y与x的函数解析式；并求此时小球释放点O距落地点F之间的水平距离
应为多少米?(2)在距点E正前方的12米（
米）地面点A上，有一高度为5米（米），直径为米（米）的圆柱体目标，它的最大截面为矩形和坐标轴在同一平面内．求无人机离开点O后，在什么飞行范围内释放小球，可以击中目标；(3)若在距（2）中的圆柱体目标的正前方N处（
米）有一建筑物（建筑物的竖直高度大于20米）的侧面外形为直线l，直线l与x轴的交点为点M，建筑物l和地面的夹角为，S为抛物线上一点，是点S距建筑物的距离．求小球在击中圆柱体目标的过程中，距建筑物的最小距离．图3建筑物示意图
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与y轴交于点C，将点C向左平移4个单位长度，得到点A，点A在抛物线上，点B是抛物线顶点．
时：
，若其与直线AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围．
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(0.4)
【推荐1】将小球（看作一点）以速度
竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度
与时间
的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度
与时间的积，另一部分与时间的平方成正比．若上升的初始速度
，且当
时，小球达到最大高度．
(1)求小球上升的高度
与时间
的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度；
(2)如图，平面直角坐标系中，轴表示小球相对于抛出点的高度，
轴表示小球距抛出点的水平距离，向上拋出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度
，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于扡出点的高度与时间的函数解析式与（1）中的解析式相同．
①若
，当
时，小球的坐标为________，小球上升的最高点坐标为________；求小球上升的高度与小球距抛出点的水平距离之间的函数关系式；
②在小球的正前方的墙上有一高
的小窗户
，其上沿
的坐标为
，若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好击中点
，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度
的取值范围．
竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度与时间的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度与时间的积，另一部分与时间的平方成正比．若上升的初始速度，且当时，小球达到最大高度． (1)求小球上升的高度
与时间的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度；(2)如图，平面直角坐标系中，
轴表示小球相对于抛出点的高度，轴表示小球距抛出点的水平距离，向上拋出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于扡出点的高度与时间的函数解析式与（1）中的解析式相同．①若
，当时，小球的坐标为________，小球上升的最高点坐标为________；求小球上升的高度与小球距抛出点的水平距离之间的函数关系式；②在小球的正前方的墙上有一高
的小窗户，其上沿的坐标为，若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好击中点，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度的取值范围．
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(0.4)
名校
【推荐2】弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，按如图所示的平面直角坐标系，其中
是弹力球距抛出点的水平距离，
是弹力球距地面的高度．甲站在原点处，从离地面高度为
的点
处抛出弹力球，弹力球在
处着地后弹起，已知弹力球第一次着地前抛物线的表达式为
．
(1)
的值为______；
(2)若弹力球在处着地后弹起的最大高度为着地前抛物线最大高度的一半．
①求点横坐标和弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的表达式；
②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为
，高的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平距离为
，现将筐沿轴向左移动，则甲______（填“能”或“不能”）游戏成功．
是弹力球距抛出点的水平距离，是弹力球距地面的高度．甲站在原点处，从离地面高度为的点处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，已知弹力球第一次着地前抛物线的表达式为．(1)
的值为______；(2)若弹力球在
处着地后弹起的最大高度为着地前抛物线最大高度的一半．①求
点横坐标和弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的表达式；②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为
，高的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平距离为，现将筐沿轴向左移动，则甲______（填“能”或“不能”）游戏成功．
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较难
(0.4)
【推荐3】如图，篮球场上OF的长为25米，篮球运动员小明站在左方的点O处向右抛球，球从离地面2米的A处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距O点4米的B处达到最高点，最高点C距离地面4米；篮球在点D处落地后弹起，弹起后在点E处落地，且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹形状相同，但高度减少为原来最大高度的一半．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线ACD的函数表达式；
(2)求篮球第二次落地点E与点O之间的距离；
(3)若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，球出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3米的篮筐中，求EG的长？
(1)求抛物线ACD的函数表达式；
(2)求篮球第二次落地点E与点O之间的距离；
(3)若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，球出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3米的篮筐中，求EG的长？
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