综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在
中，
，
，
是
上一点，连接
，过点
作
，垂足为
．求证：
．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，将线段
绕点逆时针旋转，点的对应点
在的延长线上，连接
，过点
作
，交于点
．猜想
与
的数量关系，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点与点重合，过点作
，交
于点
时，若给出
的边长，则图3中所有已经同字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若点与点重合，过点作，交于点，
，求
的长．”
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在
中，，，是上一点，连接，过点作，垂足为．求证：．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，将线段
绕点逆时针旋转，点的对应点在的延长线上，连接，过点作，交于点．猜想与的数量关系，并证明．”问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点
与点重合，过点作，交于点时，若给出的边长，则图3中所有已经同字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若点
与点重合，过点作，交于点，，求的长．”
更新时间：2024-04-18 13:23:14
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】在平面直角坐标系中，已知点
，
．
(1)如图1，判断
的形状并说明理由；
(2)如图2，M，N分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，且
，探究线段
，
，
之间的数量关系并证明；
(3)如图3，延长
交y轴于点C，M，N分别是x轴负半轴和y轴负半轴上的点，连接
交x轴于D，且
，探究
，
，
的数量关系并证明．
，． (1)如图1，判断
的形状并说明理由；(2)如图2，M，N分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，且
，探究线段，，之间的数量关系并证明；(3)如图3，延长
交y轴于点C，M，N分别是x轴负半轴和y轴负半轴上的点，连接交x轴于D，且，探究，，的数量关系并证明．
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(0.4)
名校
【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，点
的坐标是
，点的坐标是
．等腰
的顶点在
轴正半轴．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点为线段上一动点，为直线上一点，连接
且满足平行于轴，连接，求
面积取得最大值，并求出此时的坐标；
（3）在第（2）问面积取得最大值条件下，如图3，将
绕点
顺时针旋转得到△
，点
恰好落在直线上，将△沿着直线平移得到△
，平移过程中是否存在某一时刻，使得△
是以
为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，说明理由．
的坐标是，点的坐标是．等腰的顶点在轴正半轴．（1）求直线
的解析式；（2）如图2，点
为线段上一动点，为直线上一点，连接且满足平行于轴，连接，求面积取得最大值，并求出此时的坐标；（3）在第（2）问
面积取得最大值条件下，如图3，将绕点顺时针旋转得到△，点恰好落在直线上，将△沿着直线平移得到△，平移过程中是否存在某一时刻，使得△是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
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，
，a与b满足
．点C为AB的中点．
，求证：
，
，T为线段
并延长至点N，使
，连
，求
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，在中，
，
，点D是边的中点，连接
，将线段绕点D逆时针旋转
后得到线段，交边于点G，过点C作的平行线与过点E作的的平行线交于点F，连接
交于H，连接BE．
(1)判断四边形
的形状并说明理由；
(2)当
时，请直接写出
的值；
(3)当
时，请直接写出的值．
中，，，点D是边的中点，连接，将线段绕点D逆时针旋转后得到线段，交边于点G，过点C作的平行线与过点E作的的平行线交于点F，连接交于H，连接BE．(1)判断四边形
的形状并说明理由；(2)当
时，请直接写出的值；(3)当
时，请直接写出的值．
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(0.4)
名校
【推荐2】如图，P 为矩形
的边 上一动点， 
，将 
绕点B顺时针旋转 
得到 
(点 P 的对应点为点
)连接 
，
．
(1)求证:
；
(2)连接
，若 
，求
的值．
的边 上一动点， ，将 绕点B顺时针旋转 得到 (点 P 的对应点为点)连接 ，．(1)求证:
；(2)连接
，若 ，求 的值．
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(0.4)
【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，
，
，现同时将点，分别向上平移
个单位，再向右平移
个单位，分别得到点，的对应点，，且点落在轴上，连接，
．、的坐标：
，
；
(2)如图1，若点
在线段上，且
，点
以每秒
个单位长度的速度从点沿轴正半轴向上运动，是否存在点，使得
，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，已知
，射线以
的速度绕点顺时针旋转至停止，射线以
的速度绕点顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点
，过作
交于
，则在转动过程中，
的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由．
，，现同时将点，分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点，的对应点，，且点落在轴上，连接，．
、的坐标： ， ；(2)如图1，若点
在线段上，且，点以每秒个单位长度的速度从点沿轴正半轴向上运动，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，已知
，射线以的速度绕点顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点，过作交于，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由．
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(0.4)
名校
【推荐1】如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E是AC边上一点，⊙O过B、D、E三点，分别交AC、AB于点F、G，连接EG、BF分别与AD交于点M、N；
（1）求证：∠AMG＝∠BND；
（2）若点E为AC的中点，求证：BF＝BC；
（3）在（2）的条件下，作EH⊥EG交AD于点H，若EH＝EG＝4
，过点G作GK⊥BF于点K，点P在线段GK上，点Q在线段BK上，连接BP、GQ，若∠KGQ＝2∠GBP，GQ＝15
，求GP的长度．
（1）求证：∠AMG＝∠BND；
（2）若点E为AC的中点，求证：BF＝BC；
（3）在（2）的条件下，作EH⊥EG交AD于点H，若EH＝EG＝4
，过点G作GK⊥BF于点K，点P在线段GK上，点Q在线段BK上，连接BP、GQ，若∠KGQ＝2∠GBP，GQ＝15，求GP的长度．
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(0.4)
解题方法
【推荐2】【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D，求证：△BDC∽△CEA；
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，过D作AD的垂线交AB于点E．若BE＝DE，tan∠BAD＝
，AC=20，求BD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，在BC上取点E，若∠AED＝90°，AE＝AB，
＝
，CD＝
，求
的面积．
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D，求证：△BDC∽△CEA；
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，过D作AD的垂线交AB于点E．若BE＝DE，tan∠BAD＝
，AC=20，求BD的长．【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，在BC上取点E，若∠AED＝90°，AE＝AB，
＝，CD＝，求的面积．
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，点
延长线上一动点，连接
，将线段
，得到线段
，连接
．
时，则
与
的数量关系为________；
的度数为；
时，求：
，请直接写出点
的距离．
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(0.4)
【推荐1】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，
（1）⊙O的弦AE交于BC于D．求证：AB•AC=AD•AE；
（2）在（1）的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明．若不成立，请说明理由．
（3）已知⊙O 的半径2，∠ACB=40°，求BA的长．（sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果精确到0.1）
（1）⊙O的弦AE交于BC于D．求证：AB•AC=AD•AE；
（2）在（1）的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明．若不成立，请说明理由．
（3）已知⊙O 的半径2，∠ACB=40°，求BA的长．（sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果精确到0.1）
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】问题探究：
（1）如图①，已知等边△ABC，边长为4，则△ABC的外接圆的半径长为 ．
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线BD与边BC的夹角为30°，点E在为边BC上且BE＝
BC，点P是对角线BD上的一个动点，连接PE，PC，求△PEC周长的最小值．
问题解决：
（3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演．其中一个镭射灯距城墙30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图③，若将两根光线（AB，AC）和光线与城墙的两交点的连接的线段（BC）看作一个三角形，记为△ABC，那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有，说明理由．
（1）如图①，已知等边△ABC，边长为4，则△ABC的外接圆的半径长为 ．
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线BD与边BC的夹角为30°，点E在为边BC上且BE＝
BC，点P是对角线BD上的一个动点，连接PE，PC，求△PEC周长的最小值．问题解决：
（3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演．其中一个镭射灯距城墙30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图③，若将两根光线（AB，AC）和光线与城墙的两交点的连接的线段（BC）看作一个三角形，记为△ABC，那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有，说明理由．
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中，函数
的图像与直线
交于点
，直线
的值；
，当点P在函数
为半径的⊙Q，当⊙Q与直线
