【推荐1】如图，，点A、B分别在射线OM、ON上，点C在内部.

(1)若，
①如图1，若，求证：.
②如图2，若，求证：OC平分.
(2)如图3，点A、B分别在射线OM、ON上运动，点C随之运动，且，P为OM上定点，当点C运动到何处时，PC的长度最短？请用尺规作图作出PC最短时C点的位置（保留作图痕迹，不要写作法）

【推荐2】综合与探究
等边三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点，，都在坐标轴上，点为线段上一动点，点为轴下方一点，且，，连接，．

(1)如图1，求证：．
(2)如图2，当点在轴上，且点的坐标为，时，求点的坐标．
(3)若点的坐标为，直接写出在点的运动过程中，的最小值．

【推荐1】在中，的平分线交于点，交的延长线于点，分别过点，作，．
       
(1)如图，求证：四边形是菱形；
(2)如图，当点是的中点时，连接．若，求的长；
(3)如图，当是矩形时，连接，交于点，连接．若，，求的长．

【推荐2】如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．

（1）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使四边形PQDC是平行四边形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm²？
（3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD＝PD）？若存在，请直接写出t的值．

【推荐1】如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合；点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF，取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

(1)如图1，连接AE，请直接写出AE与AF有何数量关系，答：__________．
(2)在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，并加以证明．
(3)如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，当，时，求MN的长．

【推荐1】如图1和图2，平面上，四边形中，，，，，，点M在上，且．将线段绕点M顺时针旋转到．的平分线所在的直线交折线于点P，设点P在该折线上运动的路径长为，连接．
   
(1)若点P在上，求证：；
(2)如图2，连接，求的度数，并直接写出时，x的值；
(3)如图3和图4，若点P到的距离为2，求的值．

【推荐2】如图，在中，过点A作，直线与直线、分别交于点G、F，如果．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)连接，若，求证：四边形为菱形．