【推荐1】如图，某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为20米的篱笆围成．已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

(1)若这个苗圃园的面积为S平方米，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大面积．

【推荐2】新冠肺炎疫情期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销售量（盒）与售价x（元）之间的关系为；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒．
(1)甲种口罩每盒的进价是______元；乙种口罩每盒的进价是______元．
(2)如何定价，才能使乙口罩的销售利润达到最大？并求出此时甲乙两种口罩的销售利润总和．

【推荐3】在平面直角坐标系中，函数的图象记为，函数的图象记为，其中a为常数，且．图象、，合起来得到的图象记为．
(1)直接写出图象与x轴的交点坐标．
(2)当图象的最低点到x轴距离为2时，求a的值．
(3)当时，若在图象M上，求m的值．
(4)点A、B、C、D的坐标分别为（－2，2）、（3，2）、（3，－1）、（－2，－1），当、的顶点均在矩形ABCD内部时，直接写出a的取值范围．

【推荐1】如图，和中，点D在上，，，，交的延长线于点F．
   
(1)求证：；
(2)请直接写出、和之间的数量关系_____；
(3)求证：．

【推荐2】如图，在中，平分交于点，交于点．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）；
（2）求证：．

【推荐1】在矩形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接所得的四边形我们称之为中点四边形，如图．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）设的中点四边形是，的中点四边形是…．的中点四边形是，那么这些中点四边形形状的变化有没有规律性？　　（填“有”或“无”）若有，说出其中的规律性　　；
（3）进一步：如果我们规定：矩形，菱形，并将矩形的中点四边形用表示；菱形的中点四边形用表示，由题（1）知，，那么　　．

【推荐2】如图，已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AC交⊙O于点F，四边形AOEF是平行四边形.
（1）求BC的长.
（2）求证：EF是⊙O的切线.

【推荐3】[定义]平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．
例如，图1中，矩形的边轴，轴，且顶点在反比例函数的图象上，则矩形是反比例函数的“伴随矩形”．
   
(1)已知，矩形中，点的坐标分别为：①②；③，其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是      ；（填序号）
(2)如图1，已知点）是反比例函数的“伴随矩形”的顶点，求直线的函数解析式；
(3)若反比例函数的“伴随矩形”如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．

【推荐1】如图，为的直径，是的切线，点是弧的中点，与相交于点，与、相交于点、，．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，求线段的长．

【推荐2】如图，为上一点，点在直径的延长线上，且．

（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）过点作的切线交的延长线于点，若，，求的长．