【推荐1】在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的动点，连接作等腰直角三角形且．

(1)当点B在y轴负半轴上时，
①如图1，若，则______度；
②如图2，交x轴于点E，轴与交于点F，若，求证：平分；
(2)如图3，当点B在y轴正半轴上且时，若，取点，连接交x轴于点Q．当点B运动时，的长度是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．

【推荐2】【阅读理解】如图1，在平面直角坐标系中，直线l的函数关系式，、是直线l上任意两个不同的点，过点、分别作y轴、x轴的平行线交于点G，则线段，，于是有，即的值仅与k的值有关，不妨称为直线l：的“纵横比”．


【直接应用】（1）直线的“纵横比”为__________；直线的“纵横比”为________．
【拓展提升】（2）如图2，已知直线与直线互相垂直，请用“纵横比”原理以及相关的几何知识分析k与m的关系，并加以证明．（可用以下结论：如图，在中，，是斜边上的高，则有）
【综合应用】（3）如图3，已知，P是y轴上一动点，线段绕着点P按逆时针方向旋转至线段，设此时点B的运动轨迹为直线l，若另一条直线．且与有且只有一个公共点，试确定直线m的函数关系式．

【推荐3】如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以和为邻边作矩形，连接．
   
(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究：，，三条线段的长度之间是否存在某种固定的数量关系？若存在，请写出其中的关系式，并说明理由．

【推荐1】已知中，，，点为内一点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接、．

（1）试说明；
（2）若，,，试求的度数；
（3）在（2）的基础上，求四边形的面积（结果保留根号）．

【推荐3】已知四边形是矩形，连接．

(1)如图1，的平分线交于，交的延长线于点．的平分线交于点，交的延长线于点，连接．
①求证：；
②求证：四边形为菱形；
(2)在（1）的条件下，如图2，连接交于点，交于点，若，求的值．

【推荐1】如图，在等边中，点是边延长线上一动点，连接，，点关于直线的对称点为，过作交延长线于点，连接、．

(1)__________、__________（用含的式子表示）；
(2)求证：；
(3)当时，直接写出线段，，之间的数量关系．

【推荐2】如图，已知为锐角内部一点，过点作于点，于点，以为直径作，交直线于点，连接，交于点.
（1）求证：.
（2）连接，当，时，在点的整个运动过程中.
①若，求的长.
②若为等腰三角形，求所有满足条件的的长.
（3）连接，交于点，当，时，记的面积为，的面积为，请写出的值.

【推荐3】发现问题：
（1）如图1，AB为⊙O的直径，请在⊙O上求作一点P，使∠ABP＝45°．（不必写作法）

问题探究：
（2）如图2，等腰直角三角形△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，D是AB上一点，AD＝2，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由．
问题解决：
（3）如图3，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米、球门EF＝8米，且EB＝FA．点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，∠BPQ＝135，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度（∠EMF）最大？求出此时PM的长度．

【推荐1】如图，是等边三角形.

（1）作的外接圆；
（2）在劣弧上取点，分别连接，并将绕点逆时针旋转；
（3）若，直接写出四边形的面积.

【推荐2】【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数．
【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：
（1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）．
②原题中     ．
【深入思考】：
（2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明．
（3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）．
（4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．