【给出问题】：已知：
是正方形
的外接圆，点P在上（除A、B外），试求
的度数．
【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：
（1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）．
②原题中
．
【深入思考】：
（2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧
上一动点，连接
，请探究
三者之间或者
三者之间有何数量关系，并给予证明．
（3）【拓展】如图2，若六边形
是的内接正六边形，点P为弧
上一动点，请探究
三者之间有何数量关系： （不写证明过程）．
（4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，
，
，
，试求矩形的面积．
是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数．【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：
（1）①尺规作图，在
中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）．②原题中
．【深入思考】：
（2）【问题】如图1，若四边形
是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明．（3）【拓展】如图2，若六边形
是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）．（4）【应用】如图3，若四边形
是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．
更新时间：2024-03-06 18:41:13
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【推荐1】如图，C为
外一点，连接、
、
，过点A作
，
．
(1)求证：
．
(2)若
，求证：
．
(3)在（2）的条件下，
，
，
，求
长度．
外一点，连接、、，过点A作，． (1)求证：
．(2)若
，求证：．(3)在（2）的条件下，
，，，求长度．
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【推荐2】定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”、如图，在
与
中，
，且
．所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为a，连接
，则称
为“关联比”．
下面是小颖探究“关联比”与a之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：
(1)当与为“关联等腰三角形”，且
时，
①在图1中，若点E落在
上，则“关联比”
____________；
②在图2中，探究
与
的关系，并求出“关联比”值．
(2)如图3，当与为“关联等腰三角形”，且
时，“关联比”=______________；
[迁移运用]
(3)如图4，与为“关联等腰三角形”．若
，
，点P为边上一点，且
，点E为
上一动点，求点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长．
与中，，且．所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为a，连接，则称为“关联比”．下面是小颖探究“关联比”与a之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：
(1)当
与为“关联等腰三角形”，且时，①在图1中，若点E落在
上，则“关联比”____________；②在图2中，探究
与的关系，并求出“关联比”值．(2)如图3，当
与为“关联等腰三角形”，且时，“关联比”=______________；[迁移运用]
(3)如图4，
与为“关联等腰三角形”．若，，点P为边上一点，且，点E为上一动点，求点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长．
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，
，等腰直角三角形
的顶点P在边
，
．
从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿边
的值；
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【推荐1】已知：在正方形ABCD中，AB=2，点P是射线AB上的一点，连接PC、PD，点E、F分别是AB和PC的中点，连接EF交PD于点Q．
(1)如图1，当点P与点B重合时，△QPE的形状是___．
图1
(2)如图2，当点P在AB的延长线上时，设
，
，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
图2
(3)如图3，当点Q在边BC上时，求BP的长．
图3
(1)如图1，当点P与点B重合时，△QPE的形状是___．
图1
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，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．图2
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图3
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【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为
，
，
（如图所示）其中a，b，c满足关系式
．
(1)求a，b，c的值；
(2)在直角坐标系内是否存在点P使
形成以
为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标和此时
的面积；若不存在，请说明理由．
，，（如图所示）其中a，b，c满足关系式． (1)求a，b，c的值；
(2)在直角坐标系内是否存在点P使
形成以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标和此时的面积；若不存在，请说明理由．
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是坐标原点，直线
交
轴于点
轴于点
，且
．
重合），连接
于点
，设点
，
的面积为
，求
时，求
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【推荐1】如图，四边形内接于，是的直径，
．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)证明：
；
(3)过点
作的垂线，垂足为点
，连接
，分别与，相交于点
，
，若
，
，请直接写出线段
的长度．
内接于，是的直径，．(1)判断
的形状，并说明理由；(2)证明：
；(3)过点
作的垂线，垂足为点，连接，分别与，相交于点，，若，，请直接写出线段的长度．
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【推荐2】如图，线段AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，取
的中点D，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，连接AD、CD，CD与AB交于点F．
(1)求证：∠ABC＝2∠OAD；
(2)当sinE＝
时，求
；
(3)在（2）的条件下，若⊙O的半径r＝3，求DF的值．
的中点D，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，连接AD、CD，CD与AB交于点F．(1)求证：∠ABC＝2∠OAD；
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时，求；(3)在（2）的条件下，若⊙O的半径r＝3，求DF的值．
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【推荐1】（1）如图①，是的内接正三角形，
为
上一动点，连接
、、
，求证：
．
（2）如图②，四边形是的内接正方形，为上一动点，连接、、．求证：
．
（3）如图③，六边形是的内接正六边形，为上一动点，连接、、．请探究、、三者之间的数量关系，直接写出答案，不必证明．
是的内接正三角形，为上一动点，连接、、，求证：．（2）如图②，四边形
是的内接正方形，为上一动点，连接、、．求证：． （3）如图③，六边形
是的内接正六边形，为上一动点，连接、、．请探究、、三者之间的数量关系，直接写出答案，不必证明．
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【推荐2】如图①，是的直径，，点C在上且位于直线上方，将半径
绕点O顺时针旋转
，点C的对应点为点D，连接，．为边的内接正多边形的边数为 ；
(2)当直径平分
时，求
的长；
(3)如图②，连接并延长，交的延长线于点E，当是等腰三角形时，直接写出扇形
的面积．
是的直径，，点C在上且位于直线上方，将半径绕点O顺时针旋转，点C的对应点为点D，连接，．
为边的内接正多边形的边数为 ；(2)当直径
平分时，求的长；(3)如图②，连接
并延长，交的延长线于点E，当是等腰三角形时，直接写出扇形的面积．
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是
，对角线
于点
，则
_______；
和
的数量关系，并证明；
，
，求
；
于点
的值．
