【推荐1】在①；②；③，这三个条作中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．已知，如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点，点、在上，______填写序号．
（1）求证：；
（2）连接、，求证：四边形是平行四边形．

【推荐2】探索研究：已知：和都是等边三角形．

(1)如图1，若点A、C、E在一条直线上时，我们可以得到结论：线段与的数量关系为：__________，线段与所成的锐角度数为__________°；
(2)如图2，当点A、C、E不在一条直线上时，请证明（1）中的结论仍然成立；

【推荐3】如图，中，，是的平分线，于，在上，且，求证：
   
(1)；
(2)．

【推荐1】如图，在正方形中，是边上任意一点，，垂足为，交于点，交于点．
（1）证明：；
（2）当点位于什么位置时，？请说明理由．

【推荐2】正方形中，点E在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点A逆时针旋转，交射线于点F．

(1)如图，点E在边上，，则图中与线段相等的线段是________；
(2)过点E作，垂足为G，连接，求的度数；

【推荐3】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．

（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等，并说明理由．

【推荐1】有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝16cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD 与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD 与△MEF 剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁，边AD₁交FM 于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，求β的度数；
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如图3），F₂M₂与AD交于点P，A₂M₂与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．
   

【推荐2】数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为的正方形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与不重合），折痕为，折叠后边落在的位置，与交于点．

       

(1)观察操作结果，在图1中找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；
(2)当点在边的什么位置时，与面积的比是？请写出求解过程；
(3)将正方形换成正三角形，如图2，将边长为的正三角形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与不重合），折痕为，当点在边的什么位置时，与面积的比是？请写出求解过程．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知抛物线过点、，和点三点．

   

(1)求抛物线的表达式；
(2)P为抛物线第四象限上的一个动点，连接交线段于点G，如果，求点P的坐标．

【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且，连接AC，DC．

(1)求证：；
(2)若，，求BE的长度．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线与交于点，点B的坐标为，轴于点，反比例函数的图象经过点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)若将矩形向下平移n个单位，使点A落在反比例函数的图象上，求n的值；
(3)求的值．

【推荐3】如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．

（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB=，求PD的长．