【推荐1】如图，矩形OABC摆放在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=3，OC=2，P是BC边上一点且不与B重合，连结AP，过点P作∠CPD=∠APB，交x轴于点D，交y轴于点E，过点E作EF∥AP交x轴于点F．
（1）若△APD为等腰直角三角形，求点P的坐标；
（2）若以A，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE的解析式．

【推荐3】问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动．
(1)动手实践，如图①，已知正方形纸片，勤奋小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠．使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，易知点E、M、F共线，则______度．
(2)拓展应用，如图②，腾飞小组在图①的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿继续折叠，使得点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边的某一位置时，点N恰好落在折痕上．

①则_______度．
②设与的交点为点P，运用（1）、（2）操作所得结论，求证：．
(3)解决问题：在图②中，若，请直接写出线段的长．

【推荐1】已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．

（1）求AF和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．

【推荐2】（1）如图1，等腰中，，点在的垂直平分线上，点在边上，且，求的度数．
（2）如图2，等腰中，，在上，，，为中点，求证．
（3）如图3，等腰中，，过作，，连，在上取一点使，连交于，若，则__________．

【推荐1】如图，已知：过上一点作两条弦、，且，，都不经过过作的垂线交于，直线，交于点，直线，交于点．
   
(1)证明：；
(2)探索线段、、的数量关系，并证明你的结论．

【推荐2】数学课上老师出了这样一道题：如图①，已知线段和直线l，在直线l上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P．

   

【探索发现】（1）如图②，小明的作图方法如下：
第一步：分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧在上方交于点O；
第二步：连接；
第三步：以O为圆心，长为半径作，交l于点和．
则图中、即为所求的点．
请在图②中，连接、、、，并求证：．
【方法迁移】
如图③，在矩形的边上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规在图③矩形的边上作出所有的点P．（不写作法，保留作图痕迹）
【深入探究】
（2）已知矩形，，，P为矩形边上的点，若满足的点P恰有两个，则m的取值范围______．
（3）已知矩形，，，P为矩形内一点，且，则的最小值为______．

【推荐3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发沿BC方向以2cm/s的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t等于多少时，四边形ABPQ的面积为18cm²；
（2）若以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；
（3）当0<t<5时，若DQ≠DP，当t为何值时，ADPQ是等腰三角形？