【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点、．将四边形绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．

(1)四边形的形状是 　　，当时，的值是 　　；
(2)①如图2，当四边形的顶点落在y轴正半轴上时，求的值；
②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积；
(3)在四边形旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，△ABC中， BE平分∠ABC交AC边于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D，
（1）求证：△BDE为等腰三角形；
（2）若点D为AB中点，AB=6，求线段BC的长；
（3）在（2）条件下，若∠BAC=60°，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC运动，当△PBE为等腰三角形时t的值（请直接写出）.

【推荐3】（1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：
如图（1）在等边内部，有一点，若求证：．
证朋：将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形，
∴     ，________________，
∵   ∴
∴________________，即．
（2）类比延伸：如图②在等腰三角形中，，内部有一点P，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明．（提示：将绕A点逆时针旋转90°）
（3）联想拓展：如图③在中，，，点P在直线上方，且，满足（其中），请直接写出k的值．（提示：将绕A点顺时针旋转120°）
   

【推荐1】如图，在中，，，点D、E分别在边AB、AC上，，连接DE、DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，且连接PM、PN．
　　

(1)线段PM与PN有什么关系？（无需证明，直接写出结论）
(2)绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD，CE，试判断PM与PN的关系，并说明理由．

【推荐2】综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片．

(1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图1放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了．
根据以上信息，请填空：
①的度数等于______；
②线段，，之间的数量关系为______．
(2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图2中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明．
(3)【拓展应用】如图3，已知，，．小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出以、、为三边构成的三角形的面积．

【推荐1】在圆O中，弦AB与CD相交于点E，且弧AC与弧BD相等．点D在劣弧AB上，联结CO并延长交线段AB于点F，联结OA、OB．当OA＝，且tan∠OAB＝．

（1）求弦CD的长；
（2）如果△AOF是直角三角形，求线段EF的长；
（3）如果S_△CEF＝4S_△BOF，求线段AF的长．

【推荐2】如图1，在四边形中，，，平分，且，当点P从点A匀速运动到点B时，点Q从点B沿着，，运动到点D，两点同时到达终点，记点Q的运动路程为，，已知，与交于点E．
   
(1)求证．
(2)求，的长
(3)如图2，当点Q在上时．
①求的值．
②将沿着折叠，点B的对应点为点F，连接，当所在直线与的一边垂直时，求的长（直接写出答案）．

【推荐1】如图，已知等边的边长为，点是边上的一个动点（与点A、B不重合），直线是经过点的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点．
   
(1)基础图形：如图1，当时，若点恰好在边上，求的长度；
(2)模型变式：如图2，当时，若直线，则的长度为______；
(3)动态探究：如图3，点在边上运动过程中，点到直线的距离为．
如果直线始终垂直于，那么的值是否变化？若变化，求出的变化范围；若不变化，求出的值；
当时，请直接写出在直线的变化过程中，的最大值．

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，∠ABC＝90°，B(4，0)，C(8，0)，tan∠ACB＝2，抛物线y＝ax²+bx经过A，C两点．

(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；
(2)如图2，过点A作AD⊥AB交BC的垂线于点D，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？
②连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？