【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形是长方形；已知点，点D在y轴上，且．动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段的方向运动，当点P运动到与点B重合时停止运动，设点P运动的时间为t（秒）．

(1)如图①，当时，的面积为____；
(2)如图②， 当点P在线段上运动时，能否成为等腰三角形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
(3)如图③，当点P在上时，将沿翻折至，、与分别交于点，且，求此时点P的坐标．

【推荐3】如图，将矩形折叠使重合，然后展平，折痕交于，交于点，连接交于．
   
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．

【推荐1】在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结．

   

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连结，交于点，若，求的长．

【推荐2】如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长．

【推荐3】如图，小明同学用自制的直角三角形测量树的高度，，，．他调整自己的位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线，测得边离地面高度，，求树高．

【推荐1】下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形是正方形，点是边边上一点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：在上取点，使，连接．）

(1)请你思考题中“提示”，并进行证明；
(2)如图1，连接交于，判断与的数量关系，并证明你的结论；
(3)若正方形的边长为4，交于，直接写出的最小值：         ．

【推荐2】如图，是的弦，交于点，点是弦下方上一点，连接与交于点，点是延长线上一点，且，连接、.

（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长.

【推荐3】如图，点P、Q、E、F分别为正方形四条边上的点，已知，请判断四边形的形状并证明．

【推荐1】已知：如图，是半圆O的直径，C是延长线上的一点，，交CD的延长线于点E，交半圆O于点F，且D为弧的中点．

(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，，求的长．

【推荐2】已知二次函数y＝ax²+bx+c（a＞0）
(1)若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数y＝px²+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax²+bx+c有两个不同的“不动点”．
(2)设b＝c³，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax²+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x₁，0），B（x₂，0），其中x₁＜0，x₂＞0，与y轴相交于点C，连接BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若，求二次函数的表达式．

【推荐3】问题提出：若一个四边形的两组对边乘积之和等于它的两条对角线的乘积，则称这个四边形为巧妙四边形．
初步思考：（1）写出你所知道的四边形是巧妙四边形的两种图形的名称：，．
（2）小敏对巧妙四边形进行了研究，发现圆的内接四边形一定是巧妙四边形．
如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．
求证：AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．
小敏在解答此题时，利用了“相似三角形”进行证明，她的方法如下：
在BD上取点M，使∠MCB＝∠DCA．
（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
推广运用：如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AD＝，AB＝，CD＝2．求AC的长．