【推荐1】如图，矩形放置于平面直角坐标系中，点O与原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，点B的坐标为，点D从点O出发，沿x轴正半轴运动，连接，作点O关于直线的对称点E．
   
(1)若点C、E、A在一直线上，则的长为___________；
(2)若点E到边的距离为1时，求的长；
(3)若点E刚好落在边的垂直平分线上时，求的长．

【推荐2】某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD(AB＜BC)的对角线的交点O旋转(①→②→③)，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

(1)该学习小组成员意外的发现图①中(三角板一边与CC重合)，BN、CN、CD这三条线段之间存在一定的数量关系：CN²＝BN²+CD²，请你对这名成员在图①中发现的结论说明理由；
(2)在图③中(三角板一直角边与OD重合)，试探究图③中BN、CN、CD这三条线段之间的数量关系，直接写出你的结论．
(3)试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．

【推荐3】如图1，矩形中，，，点是对角线上的一个动点点不与、重合，连接并延长交射线于点，
   
(1)当时，求的面积用含、的代数式表示）
(2)若点为边的中点，点为线段的中点，连接、，求证、、三点共线；
(3)如图2，当为何值时，与的面积之和最小．

【推荐1】如图，在菱形中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作交于点，连接．设运动时间为 ，请解答下列问题：

(1)当为何值时，？
(2)设的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°, ∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于E、F．

（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；
（2）知识探究：
①如图乙，当顶点G运动到AC的中点时，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；
②如图丙，在顶点G运动的过程中，若，探究线段EC、CF与BC的数量关系；
（3）问题解决：如图丙，已知菱形的边长为8，BG=7，CF=，当＞2时，求EC的长度．

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂），且x₁≠x₂，y₁≠y₂，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．

(1)已知点A（2，0），B（0，2），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为 　；
(2)若点C（1，2），点D在直线y＝5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求点D坐标；
(3)如图2，正方形ABCD边长为2，O为对角线交点，各边分别与x轴、y轴平行，点P的坐标为（3，m）．若在正方形上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，直接写出m的取值范围．

【推荐2】如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点.
   (1)求的值;
   (2)若，求的值，
   (3)如图2，在(2)的条件下，设动点对应的位置是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值.

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．

(1)当时，求点的坐标；
(2)设的中点为，连接，当四边形时，求四边形的面积；
(3)当点移动到某一位置时，点到点的距离有最大值，请直接写出最大值．并求此时的值．

【推荐3】如图，在中，．点P从点A出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A，C重合时，作点P关于直线的对称点Q，连接交于点E，连接．设点P的运动时间为t秒．

(1)当点P与点B重合时，求t的值；
(2)用含t的代数式表示线段的长；
(3)当为等腰直角三角形时，求t的值．