【推荐1】如图，P为⊙O的直径AB上的一个动点，点C在上，连接PC，过点A作PC的垂线交⊙O于点Q．已知AB＝5cm，AC＝3cm．设A、P两点间的距离为xcm，A、Q两点间的距离为ycm．某同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x与y的几组值，如下表：

x（cm）	0			2.5		3.5	4	5
y（cm）	4.0	4.7	5.0	4.8		4.1	3.7

（说明：补全表格对的相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AQ＝2AP时，AP的长度均为　　cm．

【推荐3】已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若，方程的两个实数根分别为（其中），若y是m的函数，且，求这个函数的解析式．
(3)若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值．

【推荐2】如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得，．在进行如下操作时遇到了下列几个问题，请你帮助解决．

(1)如图2，将的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在边上，此时EF恰好经过点A，请证明：；
(2)如图3，在（1）的条件下，小明先将的边和矩形的边重合，然后将△EFG沿直线向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式．
(3)如图，在（1）的条件下，小明把该图形放在直角坐标系中，使B（G）为坐标原点为x轴，在x轴和y上分别找P，Q两点使与相似，直接写出P点的坐标．

【推荐3】如图，抛物线y=ax²+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S_△ABE=S_△ABC时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，矩形中，，，半径为的与线段相切于点M．圆心P与点C在直线的同侧，沿线段从点B向点D滚动．

发现：＝           ；的度数为           ；
思考：
①当切点M与点B重合时，求与矩形重叠部分的面积；
②在滚动过程中如图2，求的最小值；
探究：若与矩形的两条对角线都相切，求此时线段的长；并直接写出的值．

【推荐3】如图1，在Rt△ABC中，点C为直角顶点，点D为AB上的一点，且AB＝10．
（1）当CD⊥AB时，求证：BC²＝AB·BD；
（2）如图2，当点D为AB的中点时，AC＝8，点E是边BC上的动点，连结DE，作DF⊥DE交AC于点F，连结EF、CD交于点G，当EG∶FG＝1∶2时，求线段CE的长；
（3）当∠CAB＝15°时，点P是AC上一点，求PA＋PB的最小值．