【探索发现】
如图1，
是等边三角形，点D为
边上一个动点，将
绕点A逆时针旋转
得到
，连接
．小明在探索这个问题时发现四边形
是菱形．
（2）直接写出线段
之间的数量关系： ；
【理解运用】
如图2，在中，
于点D．将
绕点A逆时针旋转
得到，延长
与交于点G．
（3）判断四边形
的形状，并说明理由；
【拓展迁移】
（4）在（3）的前提下，如图3，将
沿
折叠得到
，连接
，若
，
，求的长．
如图1，
是等边三角形，点D为边上一个动点，将绕点A逆时针旋转得到，连接．小明在探索这个问题时发现四边形是菱形．
（2）直接写出线段
之间的数量关系： ；【理解运用】
如图2，在
中，于点D．将绕点A逆时针旋转得到，延长与交于点G．（3）判断四边形
的形状，并说明理由；【拓展迁移】
（4）在（3）的前提下，如图3，将
沿折叠得到，连接，若，，求的长．
更新时间：2024-04-24 10:14:09
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(0.4)
名校
【推荐1】如图，在两个等腰直角和
中，∠ACB = ∠DCE=90°．
（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点C在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出 AD的长．
和中，∠ACB = ∠DCE=90°．（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把
绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展延伸：把
绕点C在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出 AD的长．
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(0.4)
【推荐2】已知：在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、C在坐标轴上运动，且∠ACB=90°，AC=BC．
(1)如图1，当A(0，-2)，C(1，0)，点B在第四象限时，则点B的坐标为 ；
(2)如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断
与
哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论．
(3)如图3，当点C在y轴正半轴上运动，点A在x轴正半轴上运动，使点D恰为BC的中点，连接DE，求证：∠ADC=∠BDE．
(1)如图1，当A(0，-2)，C(1，0)，点B在第四象限时，则点B的坐标为 ；
(2)如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断
与哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论．(3)如图3，当点C在y轴正半轴上运动，点A在x轴正半轴上运动，使点D恰为BC的中点，连接DE，求证：∠ADC=∠BDE．
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，点G和点E分别在线段
上（不与端点重合），且满足
．
；
时，连接
并延长交
是等腰三角形；
，当
时，求
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【推荐1】综合与实践
【问题情境】在数学活动课上，同学们以等边三角形为背景，探究动点运动过程中产生的数学问题．已知是等边三角形，
，点
是射线上的一点，以
为边作矩形
（顶点
，，
，
按逆时针顺序排列），其中
，直线
分别与射线、直线
交于点
，
．
1．【初步探究】针对老师给出的问题背景，小敏画出了点与点
重合时的图形，如图
，并提出如下问题，请你解答：
（1）猜想
与
的数量关系，并说明理由；
2．【深入思考】
（2）在小敏研究的基础上，小捷同学画出了点恰好是的中点时的图形，如图
，求此时
的值；
3．【拓展延伸】
（3）在点运动过程中，直接写出当
时的值．
【问题情境】在数学活动课上，同学们以等边三角形为背景，探究动点运动过程中产生的数学问题．已知
是等边三角形，，点是射线上的一点，以为边作矩形（顶点，，，按逆时针顺序排列），其中，直线分别与射线、直线交于点，．1．【初步探究】针对老师给出的问题背景，小敏画出了点
与点重合时的图形，如图，并提出如下问题，请你解答：（1）猜想
与的数量关系，并说明理由；2．【深入思考】
（2）在小敏研究的基础上，小捷同学画出了点
恰好是的中点时的图形，如图，求此时的值；3．【拓展延伸】
（3）在点
运动过程中，直接写出当时的值．
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【推荐2】阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
(1)判断图1中的中点四边形EFGH的形状，并说明理由；
(2)当图1中的四边形ABCD的对角线添加条件______时，这个中点四边形EFGH是矩形；四边形ABCD的对角线添加条件_______时，这个中点四边形EFGH是菱形．
(3)如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
(1)判断图1中的中点四边形EFGH的形状，并说明理由；
(2)当图1中的四边形ABCD的对角线添加条件______时，这个中点四边形EFGH是矩形；四边形ABCD的对角线添加条件_______时，这个中点四边形EFGH是菱形．
(3)如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
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边
，过点
，分别交
，联结
．
的理由；
为等边三角形的理由；
存在怎样的数量关系和位置关系？并分别说明理由．
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(0.4)
【推荐1】如图1，在正方形
中，
长为
，点E和点F分别是，
边上一点，且
，连接
，
，和相交于点H．
(1)求证：
；
(2)如图2，过B作
，垂足为M．
①若
，求
的长；
②如图3，连接
并延长交于点N，若M为
的中点，求
的值．
中，长为，点E和点F分别是，边上一点，且，连接，，和相交于点H． (1)求证：
；(2)如图2，过B作
，垂足为M．①若
，求的长；②如图3，连接
并延长交于点N，若M为的中点，求的值．
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(0.4)
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【推荐2】某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB＝6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：DP＝DQ；
（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请写出结论并予以证明；
（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若BP＝2，请直接写出△DEP的面积．
（1）求证：DP＝DQ；
（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请写出结论并予以证明；
（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若BP＝2，请直接写出△DEP的面积．
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分别在边
上，线段
（
）时，试判断（
，当
时，延长
，交
，
，求线段
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【推荐1】如图，
中，
，
，点
为平行四边形边
上一动点，连接
，将
绕点逆时针旋转
得线段
，点的对应点是
．
①当
，点落在直线或直线
上时，直接写出此时
的长为 ；
②连接
，求证：
的面积是一个定值．
(2)如图2，当
时，连接
，将绕点逆时针旋转得线段
，点
的对应点是
．直接写出
是等腰三角形时
的值．
中，，，点为平行四边形边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得线段，点的对应点是．
①当
，点落在直线或直线上时，直接写出此时的长为 ；②连接
，求证：的面积是一个定值．(2)如图2，当
时，连接，将绕点逆时针旋转得线段，点的对应点是．直接写出是等腰三角形时的值．
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【推荐2】如图（1）正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝12，AE＝6
．将正方形AEFG绕点A逆时针旋转α（0°≤α≤45°）
（1）如图（2）正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE＝DG；
（2）在旋转的过程中，当∠BEA＝120°时，试求BE的长；
（3）BE的延长线交直线DG于点Q，当正方形AEFG由图（1）绕点A逆时针旋转45°，请直接写出旋转过程中点Q运动的路线长；
（4）在旋转的过程中，是否存在某时刻BF＝BC？若存在，试求出DQ的长；若不存在，请说明理由．（点Q即（3）中的点）
．将正方形AEFG绕点A逆时针旋转α（0°≤α≤45°）（1）如图（2）正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE＝DG；
（2）在旋转的过程中，当∠BEA＝120°时，试求BE的长；
（3）BE的延长线交直线DG于点Q，当正方形AEFG由图（1）绕点A逆时针旋转45°，请直接写出旋转过程中点Q运动的路线长；
（4）在旋转的过程中，是否存在某时刻BF＝BC？若存在，试求出DQ的长；若不存在，请说明理由．（点Q即（3）中的点）
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(0.4)
【推荐3】下面是某数学兴趣小组探究“三角形旋转动态分析”时对一道试题的分析，请仔细阅读，并完成相应的任务．
试题：
任务：
(1)小亮得到
的依据①是_________（从“
”“
”“
”“
”中选择一个）．
(2)小明对原试题的条件进行了适当变动，将“点D为边上一点”改为“点D为射线上一点”其它条件不变，如图2，此时“
”是否仍然成立？并说明理由．
如图3，等边
中，
，点D为射线上一点，将线段绕点A逆时针旋转得线段，连接
，请直接写出线段的长．
试题：
如图1， 中， ，点D为边上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得线段，连接．判断线段  和的数量关系和位置关系． |
| …… ∵  ，∴（依据①）∴  …… 故  ． |
(1)小亮得到
的依据①是_________（从“”“”“”“”中选择一个）．(2)小明对原试题的条件进行了适当变动，将“点D为边
上一点”改为“点D为射线上一点”其它条件不变，如图2，此时“”是否仍然成立？并说明理由．
如图3，等边
中，，点D为射线上一点，将线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，请直接写出线段的长．
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