【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，坐标原点记为，直线与轴于点交，与轴交于点，过点的直线与轴于点交，．
   
(1)求直线的函数表达式；
(2)点在直线上，使得是以为腰的等腰三角形，求点的坐标；
(3)坐标平面内一点，连接交于点，连接，在坐标平面内是否存在点，使得，？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线与x轴交于点C，与直线交于，，．

(1)求直线的解析式．
(2)点P是射线上的动点，过点P作且与交于点Q，轴垂足为点F，轴垂足为点H，当四边形为正方形时，求出正方形的边长．
(3)如图2，连接，将沿直线翻折得到．若点M为直线上一动点，在平面内是否存在点N，使得以B、G、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出N的坐标，并把求其中一个点N的过程写出来，若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，现将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF(点A的对应点为点C)，延长AE交CF于点G．

(1)求证：四边形BEGF是正方形；
(2)连接DE，①如图2，若AB=15，CG=3，试求BE的长；②如图3，若DA=DE，求证：CG=FG．

【推荐2】在中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．

(1)如图，设边与交于点，边分别交于点．
①求证：；
②当为等腰三角形时，请直接写出的长；
(2)当时，连接，请直接写出的面积；
(3)在旋转过程中，当的面积的最大时，请直接写出的长．

【推荐1】在中，点为边上任意一点，点是线段的中点．
（1）如图1，若，求的面积；
     
（2）如图2，点为外一点，连接若且求证：．

【推荐3】如图，抛物线与轴交于A（），B（4，0），过点A的直线与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥轴于点D，交直线AC于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线AC的下方，且时，求点P的坐标；
(3)当直线PD为时，在直线PD上是否存在点Q，使△ECQ与△EDA相似？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明你的理由．

【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，直线交两坐标轴于A、B两点（），且、的长是一元二次方程的两根．
   
(1)求直线的解析式；
(2)以线段为边作正方形（如图2），对角线交于点E，的平分线交于F，求的长；
(3)若M是y轴上任一点，点N是坐标平面内一点，若以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出N点的坐标．

【推荐2】如图，在中，，，．平行四边形顶点D在边上，顶点E，F在边上，顶点G在边上

(1)如图（1），若四边形是矩形，设，，求y与x的关系式；
(2)如图（2），若四边形是正方形，求的长；
(3)小涵同学在图（3）中画菱形，探索发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化，请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围．

【推荐3】【问题情境】数学课上，王老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接．试判断线段与的位置关系．
   
(1)【探究展示】小明发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∴__________．（平行线分线段成比例）
∵，
∴．
∴．
即是的边上的中线，
又
∴__________．（等腰三角形的“三线合一”）
∴垂直平分．
请将上述证明过程补充完整；
(2)【反思交流】
小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图2，连接，以为一边在的左下方作正方表，发现点在线段的垂直平份线上，请你给出证明；
(3)【拓展应用】
如图3，连接，以为一边在的右上方作正方形，分别以点，圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接．若，请直接写出的值．