在平行四边形的这一章的学习中，小兵发现一些平行四边形内垂线段相关的有趣问题：如图，
中，
，
：
，
的垂线，垂足分别为M、N，连接
．
①若
，则一定是菱形，请说明理由；
②若
，求的长；
③小兵还发现了线段有最小值，其最小值为______．
(2)如图2，，点E在上，且
，F为中点，连
，
，作
，
．则
_____．
中，，：
，的垂线，垂足分别为M、N，连接．①若
，则一定是菱形，请说明理由；②若
，求的长；③小兵还发现了线段
有最小值，其最小值为______．(2)如图2，
，点E在上，且，F为中点，连，，作，．则_____．
更新时间：2024-05-01 07:36:23
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【推荐1】【课本探究】如图1所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【小试牛刀】 如图2，在
中，
，AD平分
，
，则BC= ．
【变式探索】如图3，菱形ABCD的边长为6，
，点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则
的最小值为 ．
【能力提升】如图4，在四边形ABCD中，
,
，以C为圆心、5为半径作圆弧，分别交CD、CB于点E、F，点P是
上的一动点，过点P作
射线AD于点N、交射线AB于点M，在点P的运动过程中线段MN是否存在最小值？如果存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【拓展应用】
如图5，四边形ABCD是某区的一处景观示意图，
，
，M是AB上一点，且
m．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛
和草坪
，且需
m．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？(结果保留根号）
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中，，AD平分，，则BC= ．【变式探索】如图3，菱形ABCD的边长为6，
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,，以C为圆心、5为半径作圆弧，分别交CD、CB于点E、F，点P是上的一动点，过点P作射线AD于点N、交射线AB于点M，在点P的运动过程中线段MN是否存在最小值？如果存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【拓展应用】
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【推荐2】折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看着折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．
实践操作，解决问题
(1)如图1，将矩形纸片
沿对角线
翻折，使点
落在矩形所在平面内，边和
相交于点
．在图1中，
①
和
的数量关系为___________．
②连接
，和的位置关系为___________
(2)若图1中的矩形变为平行四边形时（
），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由
(3)小敏沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形（如图3所示），沿对称轴
再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小敏折叠的矩形纸片的长宽之比为 （写出所有可能情况）
(4)新题探究：
平行四边形中，
，如图4所示，将
沿对角线翻折，使点落在所在平面内，连接，当
恰好为直角三角形时，的长度为___________．
实践操作，解决问题
(1)如图1，将矩形纸片
沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点．在图1中，①
和的数量关系为___________．②连接
，和的位置关系为___________(2)若图1中的矩形变为平行四边形时（
），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由(3)小敏沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形（如图3所示），沿对称轴
再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小敏折叠的矩形纸片的长宽之比为 （写出所有可能情况）(4)新题探究：
平行四边形
中，，如图4所示，将沿对角线翻折，使点落在所在平面内，连接，当恰好为直角三角形时，的长度为___________．
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，
，
，点
，
分别为边
，将
绕点
．
时，
__________，
，
所在直线相交所成的较小夹角的度数为_________．
的最大值；
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解题方法
【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；
（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
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【推荐2】如图，在平行四边形中，
，是边的中点，连接，
．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，点
为边
上一点，连接
，平分
交边于点
，若
，求证：
；
(3)如图3，在（2）问条件下，若
，
，求平行四边形的周长．
中，，是边的中点，连接，． (1)如图1，求证：
；(2)如图2，点
为边上一点，连接，平分交边于点，若，求证：；(3)如图3，在（2）问条件下，若
，，求平行四边形的周长．
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，点C在第一象限内，点D与点A关于y轴对称，且四边形
，若其圆心P从点A出发，沿着
以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时
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【推荐1】如图1，在等边三角形
的外角
内引射线
，作点
关于的对称点（点在内），连接，、
分别交于点、．
(1)完成下列问题：①
______°；
②求证：
．
(2)把（1）中的“等边三角形”改为“正方形”，其余条件不变，如图2．完成下列问题：
①______；
②线段、
、
之间存在怎样的数量关系？说明理由．
的外角内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交于点、．(1)完成下列问题：①
______°；②求证：
．(2)把（1）中的“等边三角形
”改为“正方形”，其余条件不变，如图2．完成下列问题：①
______；②线段
、、之间存在怎样的数量关系？说明理由．
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【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴的正半轴交于点A，抛物线的顶点为B，直线
经过A，B两点，且
．
（1）求抛物线的解析式
（2）点P在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，其横坐标为
，连接OP，交对称轴于点C，过点C作
轴，交直线于点
，连接
，设线段的长为
，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点在线段上，连接
，交
于点F，点G是BE的中点，过点G作
轴，交
的延长线于点
，当
且
时，求点
的坐标；
与轴的正半轴交于点A，抛物线的顶点为B，直线经过A，B两点，且．（1）求抛物线的解析式
（2）点P在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，其横坐标为
，连接OP，交对称轴于点C，过点C作轴，交直线于点，连接，设线段的长为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；（3）在（2）的条件下，点
在线段上，连接，交于点F，点G是BE的中点，过点G作轴，交的延长线于点，当且时，求点的坐标；
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的内接四边形，
．
；
于点F，交
；
交
于点G，连接
，求
的面积．
