【推荐1】已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点．
(1)如图，求证：．
   
(2)如图，连接，求证：平分．
   
(3)如图，若，，，求的值．
   

【推荐3】如图，在等腰梯形中，，，，平分，、是对角线、的中点，且，求梯形的面积．

【推荐2】（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系式为_____，AE、BD所在直线的位置关系为_____．

（2）深入探究：如图2，在（1）的条件下，若点A、E、D在同一直线上，CM为△CDE中DE边上的高，则∠ADB的度数为_____，线段CM、AD、BD之间的数量关系式为______．请说明理由；

（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB=7，BC=3，∠ABC=45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠CAD=90°，AC=AD，连接BD，则BD的长为______．

【推荐3】

(1)【阅读理解】如图①，在中，，是斜边上的中线．试判断与的数量关系．解决此问题可以用如下方法：延长至点，使，连接，．易证四边形是矩形，得到，即可作出判断．则与的数量关系为          ；
(2)【问题探究】如图②，直角三角形纸片中，，点是边的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，求的长度；
(3)【拓展延伸】如图③，在等腰直角三角形中，，，是边的中点，，分别是边，上的动点，且，当点从点运动到点时，的中点M所经过的路径长是多少？

【推荐1】某学习小组开展了图形旋转的探究活动：将一个矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，连结．

(1)如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求的长．
(2)如图2，连结，过点作交于点M．观察思考线段与数量关系并说明理由．
(3)在（2）的条件下，射线交于点N（如图3），若，旋转角等于多少度时是等边三角形，请写出的值，并说明是等边三角形的理由．

【推荐2】如图，在中，于D，且的直角顶点E在边上运动，一条直角边经过点B，且与交于点N，另一条直角边与交于点M．
   
(1)求证：；
(2)若E是的中点，求的值．
(3)若，求的值(用含k的代数式表示)．

【推荐3】如图1，在中，，，点是边上的点，点是边上的点，，连接，且．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图，连接，求的值．

【推荐1】在平面直角坐标系中，为原点，直角三角形的顶点，，菱形的顶点．

(1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点的对应点分别为，设，菱形与直角三角形重叠部分的面积为．
（ⅰ）如图②，当边分别与相交于点，边与相交于点，边与相交于点，且菱形与直角三角形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
（ⅱ）当时，求的值（直接写出结果即可）．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，经过点，与轴交于点，直线与抛物线交于异于点的，两点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若三角形是以为底的等腰三角形，试求出此时点的横坐标；
(3)若，探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

【推荐3】如图，以为斜边作和，，，垂足为点，点是线段上一点，连接分别交于，过点作，交延长线于点，．
（1）求证：；     
（2）若，求的长；   
（3）若，，求线段的长．