【问题初探】
定义：过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”．
.
，
，垂足分别为
、
，则
为“点足三角形”，
为“垂角”．
【性质探究】
（）两条直线相交且所夹锐角为
度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为______度（用表示）．
（
）如图，点
为平面内一点，，，垂足分别为、，将“垂角”绕着点旋转一个角度．分别与
、
相交于
、
.连接
．求证：
．
【迁移运用】
（
）如图，
，点在射线
上，点是射线
上的点，且
，
，则
的外部是否存在一点使得“点足三角形
”的面积为
，若存在，求出此时
的长；着不存在，请说明理由．
定义：过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”．
.，，垂足分别为、，则为“点足三角形”，为“垂角”．【性质探究】
（
）两条直线相交且所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为______度（用表示）．（
）如图，点为平面内一点，，，垂足分别为、，将“垂角”绕着点旋转一个角度．分别与、相交于、.连接．求证：．【迁移运用】
（
）如图，，点在射线上，点是射线上的点，且，，则的外部是否存在一点使得“点足三角形”的面积为，若存在，求出此时的长；着不存在，请说明理由．
更新时间：2024-05-26 13:33:32
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线
交
轴于点，交
轴于点，且
．
（1）求直线
的解析式；
（2）如图2，点
在线段上（不与
重合），连接交
于点，设点的横坐标为
，
的面积为
，求与之间的函数解析式；
（3）在图2中，
时，求的面积．
是坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，且．（1）求直线
的解析式；（2）如图2，点
在线段上（不与重合），连接交于点，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数解析式；（3）在图2中，
时，求的面积．
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解答题-证明题
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(0.4)
【推荐2】如图（1）将两块全等的直角三角形纸片
和
叠放在一起，其中
，
，
，顶点D与边
的中点重合．
(1)若DE经过点C，
交于点G，求证：
；
(2)求图1中重叠部分（
）的面积；
(3)合作交流：“希望”小组受问题（1）（2）的启发，将绕点D旋转，使
交于点H，交于点G，如图2，
，求重叠部分（
）的面积．
和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合．(1)若DE经过点C，
交于点G，求证：；(2)求图1中重叠部分（
）的面积；(3)合作交流：“希望”小组受问题（1）（2）的启发，将
绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，，求重叠部分（）的面积．
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(0.4)
【推荐3】【问题提出】
如图1，在中，
，
，
为内一点，连接
，将绕点顺时针旋转
得到，连接
并延长到点
，使
，连接
，，
．求证：
，
．
“神州小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点作
平行交的延长线于点
，这样可以将证明和的关系转化为和的关系；
“智慧小组”的解题思路：结合为
的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作
平行交
延长线于点
，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为
和的关系．
（1）请你选择其中一个小组的思路，或者用你自己探究的思路写出证明过程；
【思维训练】
王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：
（2）如图4，在中，
，
，为上一点，将绕点逆时针旋转
得到
，连接，，为中点，连接
并延长交的延长线于点，若
，探究
，
，之间的数量关系，并说明理由；
【能力提升】
（3）“北斗小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若为平面内一点，
，
，
，其他条件不变，求的长．
如图1，在
中，，，为内一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长到点，使，连接，，．求证：，．
“神州小组”的解题思路：将线段
借助平行线进行平移，如图2，过点作平行交的延长线于点，这样可以将证明和的关系转化为和的关系；“智慧小组”的解题思路：结合
为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系．（1）请你选择其中一个小组的思路，或者用你自己探究的思路写出证明过程；
【思维训练】
王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：
（2）如图4，在
中，，，为上一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，为中点，连接并延长交的延长线于点，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由；【能力提升】
（3）“北斗小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接
，若为平面内一点，，，，其他条件不变，求的长．
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【推荐1】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．
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(0.4)
【推荐2】如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=AC，点D为边BC所在直线上任一点，将线段AD能绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE，连接CE．
(1)如图1，若点D在线段BC上，BD与CE的数量关系是________________，∠ACE的度数是_______；
(2)图2，若点D在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请进行证明；如果不成立，请说明理由；
(3)点D运动的过程中，若AD与BD的夹角为15°，直接写出
的值．
(1)如图1，若点D在线段BC上，BD与CE的数量关系是________________，∠ACE的度数是_______；
(2)图2，若点D在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请进行证明；如果不成立，请说明理由；
(3)点D运动的过程中，若AD与BD的夹角为15°，直接写出
的值．
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，
，求证：
；
，以BD为边构造等边△BDM，连接CM，直接写出CM的最小值．
解答题-证明题
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(0.4)
【推荐1】如果三角形的两个内角与
满足
，那么我们称这样的三角形为“附余三角形”．
(1)若△ABC是“附余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=________°；
(2)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线；
①证明△ABD是“附余三角形”；
②试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“附余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，在四边形ABCD中，AB=5，CD=6，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“附余三角形”，求BD的长．
与满足，那么我们称这样的三角形为“附余三角形”．(1)若△ABC是“附余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=________°；
(2)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线；
①证明△ABD是“附余三角形”；
②试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“附余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，在四边形ABCD中，AB=5，CD=6，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“附余三角形”，求BD的长．
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【推荐2】如图,在矩形ABCD中,点O是边AD上的中点,点E是边BC上的一个动点,延长EO到F,使得OE=OF.
（1）当点E运动到什么位置时,四边形AEDF是菱形？（直接写出答案）
（2）若矩形ABCD的周长为20,四边形AEDF的面积是否存在最大值？如果存在,请求出最大值;如果不存在,请说明理由．
（3）若AB=
,BC=
,当.满足什么条件时,四边形AEDF能成为一个矩形？（不必说明理由）
（1）当点E运动到什么位置时,四边形AEDF是菱形？（直接写出答案）
（2）若矩形ABCD的周长为20,四边形AEDF的面积是否存在最大值？如果存在,请求出最大值;如果不存在,请说明理由．
（3）若AB=
,BC=,当.满足什么条件时,四边形AEDF能成为一个矩形？（不必说明理由）
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(0.4)
真题
【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=
．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若反比例函数y=
的图象经过点E，求k的值；
（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
．（1）求点A，C的坐标；
（2）若反比例函数y=
的图象经过点E，求k的值；（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图，为等边三角形，
，
于点，点在线段
上运动，当点不与点
重合时，过点作的垂线交折线
于点，交边于点F，以
、
为边作矩形
，设线段
的长为
．的长为______；
(2)当点在线段上时，用含的代数式表示线段的长，并直接写出的取值范围；
(3)作点关于直线的对称点
，作直线
.
当点在边上时，若
，求线段
的长；
当直线将矩形分成两部分图形的面积比为
时，直接写出的值．
为等边三角形，，于点，点在线段上运动，当点不与点重合时，过点作的垂线交折线于点，交边于点F，以、为边作矩形，设线段的长为．
的长为______；(2)当点
在线段上时，用含的代数式表示线段的长，并直接写出的取值范围；(3)作点
关于直线的对称点，作直线.当点在边上时，若，求线段的长；当直线将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出的值．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】直线
分别与x轴y轴相交与A，B两点，
原点O及A，B两点，C是上一点，连接
交于点D，
．
(1)证明：
．
(2)直线上是否存在点P，使得
的周长最小？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
分别与x轴y轴相交与A，B两点，原点O及A，B两点，C是上一点，连接交于点D，． (1)证明：
．(2)直线
上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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ABC中，∠ACB＝90
，将
