【推荐1】问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？
拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．
问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．

【推荐2】如图，是等边三角形，点D在线段上且不与点A、点C重合，延长至点使得，连接．

(1)如图①，若D为中点，求；
(2)如图②，连接，求证：．

【推荐3】如图，点A、P、B、C为⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC形状并证明；
（2）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△CMB，请画出图形，直接写出PA，PB，PC三者之间的数量关系 　         　．

【推荐1】如图，为的直径，是延长线上一点，切于点，是的弦，，垂足为．

(1)求证：；
(2)过点作，交于点，交于点，若，求的半径的长．

【推荐2】如图，是的直径，C是圆上一点，，垂足为E，交于点D，点P在延长线上，连接、，且．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求点B到的距离．

【推荐3】已知的半径为，弦．

(1)求圆心O到弦的距离．
(2)若弦恰好是的中位线，以中点E为圆心，R为半径作，当和相切时，求R的值．

【推荐1】如图，在中，，，点D在上，以为直径的与相切于点E，与相交于点F，

(1)求CF的长度；
(2)求阴影部分的面积．

【推荐2】如图，四边形ABCD为平行四边形，边AD是的直径，交AB于F点，DE为的切线交BC于E，且，BD和交于G点．

(1)求证：四边形ABCD为菱形．
(2)若半径，，求BF长．

【推荐3】如图，△ABC是⊙O的内接三角形．∠BAC＝45°．请用无刻度的直尺按要求画图．

（1）如图①，请在图①中画出弦CD，使得CD＝BC；
（2）如图②，AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，点A，C，M在同一条直线上．在图中画出△ABM的边BM上的中线AD．

【推荐1】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，BE=2，求∠F的度数．

【推荐2】如图，在中，正方形内接于，点在边上，点分别在上，且，
（1）求证：
（2）求证：．

【推荐3】如图，为的切线，A为切点，直线交于点E，F，过点A作的垂线，垂足为D，交于点B，延长与交于点C，连接，．
   
(1)求证：与相切；
(2)若，求的值．