【推荐1】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且CE=CF，连接AE，AF，取AE的中点M，EF的中点N，连接BM，MN．

（1）请判断线段BM与MN的数量关系和位置关系，并予以证明．
（2）如图2，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【推荐2】如图1，是的平分线，要求利用该图形画一对位于所在直线两侧的全等三角形，方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，，在角平分线上任取一点D，连接，则．

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题．
(1)如图2，在中，是直角，分别是和的平分线，相交于点．
①的度数为______；
②在上截取，连接．求证：；
③请判断FE与FD的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，是的外角的平分线，是射线上的一个动点（不与点重合），猜想与的大小关系，并证明你的猜想．

【推荐3】将两块全等的三角板如图1摆放，其中．

(1)将图1中的绕点C顺时针旋转45°得图2，点P是与的交点，点Q是与的交点，求证：；
(2)在图2中，若，则等于多少？
(3)将图1中的绕点C顺时针旋转得到如图3，点P是与的交点，在上取一点F，连接，设，当时，求面积的最大值．

【推荐1】综合与实践
实践操作：如图1，在中，，，．以为边，在外作等边，D是的中点，连接并延长交于E．如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为
问题解决：
（1）图1中的线段与的长度比是________．
（2）请在图1中证明四边形是平行四边形；
探索发现：
（3）图2中的________
   

【推荐2】（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，且，．则当点A位于______时，线段的长取得最大值，且最大值是______．
（2）应用：点A为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，求出线段长的最大值并说明理由
（3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园，要求，，且米．为了在点A有最佳的观赏效果，要求线段最长，试求线段长的最大值及此时点C到直线的距离．

【推荐3】如图，在矩形中，，，为对角线上一点，且，过作，分别交、于、．动点从点出发，以每秒1个单位长的速度在射线上运动．动点从点出发，以每秒1个单位长的速度在线段上沿、、方向运动．以为边作等边．已知、两点同时出发，当点返回点时两点同时停止运动．设运动时间为秒．
(1)求线段，当点落在线段上时等于多少；
(2)设运动过程中与矩形的重叠部分面积为，请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
(3)将四边形绕点旋转一周，在此过程中，设直线分别与直线、交于点、，当是以为底角的等腰三角形时，求的长．
   

【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．

(1)填空：_________，点的坐标是 _________；
(2)连接，点是线段上一动点点不与端点，重合，过点作，交抛物线于点点在对称轴的右侧，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值；
(3)在(2)中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，中，，，点D、E分别在、上，．将绕点A逆时针旋转，使得B、D、E三点共线．

(1)直接写出：      （用表示）；
(2)若，当时，作于F，在图2中画出符合要求的图形，并探究之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，若，，当时，直接写出的最大值．

【推荐1】如图（1）正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝12，AE＝6．将正方形AEFG绕点A逆时针旋转α（0°≤α≤45°）
（1）如图（2）正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE＝DG；
（2）在旋转的过程中，当∠BEA＝120°时，试求BE的长；
（3）BE的延长线交直线DG于点Q，当正方形AEFG由图（1）绕点A逆时针旋转45°，请直接写出旋转过程中点Q运动的路线长；
（4）在旋转的过程中，是否存在某时刻BF＝BC？若存在，试求出DQ的长；若不存在，请说明理由．（点Q即（3）中的点）

【推荐2】如图1，在中，，，．在中，，，．E、F两点在边上，、两边分别与边交于G、H两点．现固定不动，从点F与点B重合的位置出发，沿以的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线上以的速度向点E运动．是以D为圆心，长为半径的圆．与点P同时出发，当点E到达点C时，和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），．

   

(1)当时，________，_______；
(2)当t为多少秒时，为等腰三角形？请说明理由；
(3)当t为多少秒时，与相切？请说明理由．